Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55412 / 18166
↖ ↑ ↗
← N 78.212176°
W 27.806396°		 ← 62.39 m → N 78.212176°
W 27.803650°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.211614°
W 27.806396°		 ← 62.40 m →
3 896 m²		 N 78.211614°
W 27.803650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422763824462891 y=0.138599395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422763824462891 × 217)
    floor (0.422763824462891 × 131072)
    floor (55412.5)     		tx = 55412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138599395751953 × 217)
    floor (0.138599395751953 × 131072)
    floor (18166.5)     		ty = 18166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55412 / 18166 ti = "17/55412/18166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55412/18166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55412 ÷ 217
    55412 ÷ 131072     		x = 0.422760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18166 ÷ 217
    18166 ÷ 131072     		y = 0.138595581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.15447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48531317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138595581054688 × 2 - 1) × π
    0.722808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27077093500206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48531317} λ = -0.48531317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27077093500206))-π/2
    2×atan(9.68686588013)-π/2
    2×1.46792815103253-π/2
    2.93585630206505-1.57079632675     		φ = 1.36505998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48531317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.806396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36505998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.212176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55412 KachelY 18166 -0.48531317 1.36505998 -27.806396 78.212176
    Oben rechts KachelX + 1 55413 KachelY 18166 -0.48526523 1.36505998 -27.803650 78.212176
    Unten links KachelX 55412 KachelY + 1 18167 -0.48531317 1.36505018 -27.806396 78.211614
    Unten rechts KachelX + 1 55413 KachelY + 1 18167 -0.48526523 1.36505018 -27.803650 78.211614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36505998-1.36505018) × R
    9.80000000017078e-06 × 6371000     		dl = 62.4358000010881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36505998-1.36505018) × R
    9.80000000017078e-06 × 6371000     		dr = 62.4358000010881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48531317--0.48526523) × cos(1.36505998) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.204288033069862 × 6371000     		do = 62.3948236735384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48531317--0.48526523) × cos(1.36505018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.204297626386118 × 6371000     		du = 62.397753719255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36505998)-sin(1.36505018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204288033069862-0.204297626386118)×R²
    abs(-0.48526523--0.48531317)×9.59331625630111e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.59331625630111e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.59331625630111e-06×40589641000000     		ar = 3895.7622017875m²