Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55411 / 18182
↖ ↑ ↗
← N 78.203195°
W 27.809143°		 ← 62.44 m → N 78.203195°
W 27.806396°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.202633°
W 27.809143°		 ← 62.44 m →
3 899 m²		 N 78.202633°
W 27.806396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422756195068359 y=0.138721466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422756195068359 × 217)
    floor (0.422756195068359 × 131072)
    floor (55411.5)     		tx = 55411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138721466064453 × 217)
    floor (0.138721466064453 × 131072)
    floor (18182.5)     		ty = 18182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55411 / 18182 ti = "17/55411/18182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55411/18182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55411 ÷ 217
    55411 ÷ 131072     		x = 0.422752380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18182 ÷ 217
    18182 ÷ 131072     		y = 0.138717651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422752380371094 × 2 - 1) × π
    -0.154495239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.48536111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138717651367188 × 2 - 1) × π
    0.722564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27000394460814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48536111} λ = -0.48536111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27000394460814))-π/2
    2×atan(9.67943899559138)-π/2
    2×1.46784977813349-π/2
    2.93569955626699-1.57079632675     		φ = 1.36490323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48536111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.809143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36490323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.203195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55411 KachelY 18182 -0.48536111 1.36490323 -27.809143 78.203195
    Oben rechts KachelX + 1 55412 KachelY 18182 -0.48531317 1.36490323 -27.806396 78.203195
    Unten links KachelX 55411 KachelY + 1 18183 -0.48536111 1.36489343 -27.809143 78.202633
    Unten rechts KachelX + 1 55412 KachelY + 1 18183 -0.48531317 1.36489343 -27.806396 78.202633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36490323-1.36489343) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dl = 62.4357999996734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36490323-1.36489343) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dr = 62.4357999996734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48536111--0.48531317) × cos(1.36490323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204441474831016 × 6371000     		do = 62.4416887369134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48536111--0.48531317) × cos(1.36489343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204451067833329 × 6371000     		du = 62.4446186867439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36490323)-sin(1.36489343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204441474831016-0.204451067833329)×R²
    abs(-0.48531317--0.48536111)×9.59300231379023e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.59300231379023e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.59300231379023e-06×40589641000000     		ar = 3898.68825647311m²