Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55409 / 18168
↖ ↑ ↗
← N 78.211053°
W 27.814636°		 ← 62.39 m → N 78.211053°
W 27.811890°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.210492°
W 27.814636°		 ← 62.39 m →
3 895 m²		 N 78.210492°
W 27.811890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422740936279297 y=0.138614654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422740936279297 × 217)
    floor (0.422740936279297 × 131072)
    floor (55409.5)     		tx = 55409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138614654541016 × 217)
    floor (0.138614654541016 × 131072)
    floor (18168.5)     		ty = 18168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55409 / 18168 ti = "17/55409/18168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55409/18168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55409 ÷ 217
    55409 ÷ 131072     		x = 0.422737121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18168 ÷ 217
    18168 ÷ 131072     		y = 0.13861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422737121582031 × 2 - 1) × π
    -0.154525756835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48545698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13861083984375 × 2 - 1) × π
    0.7227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27067506120282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48545698} λ = -0.48545698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27067506120282))-π/2
    2×atan(9.68593720801372)-π/2
    2×1.46791835763781-π/2
    2.93583671527563-1.57079632675     		φ = 1.36504039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48545698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.814636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36504039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.211053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55409 KachelY 18168 -0.48545698 1.36504039 -27.814636 78.211053
    Oben rechts KachelX + 1 55410 KachelY 18168 -0.48540905 1.36504039 -27.811890 78.211053
    Unten links KachelX 55409 KachelY + 1 18169 -0.48545698 1.36503059 -27.814636 78.210492
    Unten rechts KachelX + 1 55410 KachelY + 1 18169 -0.48540905 1.36503059 -27.811890 78.210492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36504039-1.36503059) × R
    9.80000000017078e-06 × 6371000     		dl = 62.4358000010881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36504039-1.36503059) × R
    9.80000000017078e-06 × 6371000     		dr = 62.4358000010881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48545698--0.48540905) × cos(1.36504039) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204307209893685 × 6371000     		do = 62.3876643567377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48545698--0.48540905) × cos(1.36503059) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204316803170719 × 6371000     		du = 62.3905937792872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36504039)-sin(1.36503059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204307209893685-0.204316803170719)×R²
    abs(-0.48540905--0.48545698)×9.59327703389801e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.59327703389801e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.59327703389801e-06×40589641000000     		ar = 3895.31518463857m²