Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55408 / 18256
↖ ↑ ↗
← N 78.161570°
W 27.817383°		 ← 62.66 m → N 78.161570°
W 27.814636°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.161006°
W 27.817383°		 ← 62.66 m →
3 928 m²		 N 78.161006°
W 27.814636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422733306884766 y=0.139286041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422733306884766 × 217)
    floor (0.422733306884766 × 131072)
    floor (55408.5)     		tx = 55408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139286041259766 × 217)
    floor (0.139286041259766 × 131072)
    floor (18256.5)     		ty = 18256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55408 / 18256 ti = "17/55408/18256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55408/18256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55408 ÷ 217
    55408 ÷ 131072     		x = 0.4227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18256 ÷ 217
    18256 ÷ 131072     		y = 0.1392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.154541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48550492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    0.721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26645661403625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48550492} λ = -0.48550492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26645661403625))-π/2
    2×atan(9.64516365464815)-π/2
    2×1.46748653712226-π/2
    2.93497307424453-1.57079632675     		φ = 1.36417675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48550492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.817383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36417675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.161570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55408 KachelY 18256 -0.48550492 1.36417675 -27.817383 78.161570
    Oben rechts KachelX + 1 55409 KachelY 18256 -0.48545698 1.36417675 -27.814636 78.161570
    Unten links KachelX 55408 KachelY + 1 18257 -0.48550492 1.36416691 -27.817383 78.161006
    Unten rechts KachelX + 1 55409 KachelY + 1 18257 -0.48545698 1.36416691 -27.814636 78.161006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36417675-1.36416691) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36417675-1.36416691) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48550492--0.48545698) × cos(1.36417675) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205152556681664 × 6371000     		do = 62.6588714374207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48550492--0.48545698) × cos(1.36416691) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.20516218737501 × 6371000     		du = 62.6618128990627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36417675)-sin(1.36416691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205152556681664-0.20516218737501)×R²
    abs(-0.48545698--0.48550492)×9.63069334611322e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.63069334611322e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.63069334611322e-06×40589641000000     		ar = 3928.21695318225m²