Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5540 / 3486
↖ ↑ ↗
← N 80.360675°
W119.135742°		 ← 204.56 m → N 80.360675°
W119.124756°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 80.358835°
W119.135742°		 ← 204.60 m →
41 851 m²		 N 80.358835°
W119.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169082641601562 y=0.106399536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169082641601562 × 215)
    floor (0.169082641601562 × 32768)
    floor (5540.5)     		tx = 5540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106399536132812 × 215)
    floor (0.106399536132812 × 32768)
    floor (3486.5)     		ty = 3486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5540 / 3486 ti = "15/5540/3486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5540/3486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5540 ÷ 215
    5540 ÷ 32768     		x = 0.1690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3486 ÷ 215
    3486 ÷ 32768     		y = 0.10638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.07931096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10638427734375 × 2 - 1) × π
    0.7872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47316052519794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07931096} λ = -2.07931096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47316052519794))-π/2
    2×atan(11.8598711018128)-π/2
    2×1.48667735023797-π/2
    2.97335470047593-1.57079632675     		φ = 1.40255837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07931096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40255837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.360675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5540 KachelY 3486 -2.07931096 1.40255837 -119.135742 80.360675
    Oben rechts KachelX + 1 5541 KachelY 3486 -2.07911921 1.40255837 -119.124756 80.360675
    Unten links KachelX 5540 KachelY + 1 3487 -2.07931096 1.40252626 -119.135742 80.358835
    Unten rechts KachelX + 1 5541 KachelY + 1 3487 -2.07911921 1.40252626 -119.124756 80.358835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40255837-1.40252626) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40255837-1.40252626) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07931096--2.07911921) × cos(1.40255837) × R
    0.000191749999999935 × 0.167445444385769 × 6371000     		do = 204.557927095279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07931096--2.07911921) × cos(1.40252626) × R
    0.000191749999999935 × 0.167477100949376 × 6371000     		du = 204.596599995901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40255837)-sin(1.40252626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167445444385769-0.167477100949376)×R²
    abs(-2.07911921--2.07931096)×3.16565636069022e-05×R²
    0.000191749999999935×3.16565636069022e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.16565636069022e-05×40589641000000     		ar = 41850.9456687776m²