Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 554 / 1620
↖ ↑ ↗
← S 71.746432°
W 82.617187°		 ← 6 122.25 m → S 71.746432°
W 82.441406°		 →
↑
6 113.36 m
↓
↑
6 113.36 m
↓
S 71.801410°
W 82.617187°		 ← 6 104.43 m →
37 373 032 m²		 S 71.801410°
W 82.441406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270751953125 y=0.791259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270751953125 × 211)
    floor (0.270751953125 × 2048)
    floor (554.5)     		tx = 554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791259765625 × 211)
    floor (0.791259765625 × 2048)
    floor (1620.5)     		ty = 1620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 554 / 1620 ti = "11/554/1620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/554/1620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 554 ÷ 211
    554 ÷ 2048     		x = 0.2705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1620 ÷ 211
    1620 ÷ 2048     		y = 0.791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2705078125 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44194194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791015625 × 2 - 1) × π
    -0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44194194} λ = -1.44194194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82850509910742))-π/2
    2×atan(0.160653549490571)-π/2
    2×0.159292433378349-π/2
    0.318584866756697-1.57079632675     		φ = -1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44194194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.617187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 554 KachelY 1620 -1.44194194 -1.25221146 -82.617187 -71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 555 KachelY 1620 -1.43887398 -1.25221146 -82.441406 -71.746432
    Unten links KachelX 554 KachelY + 1 1621 -1.44194194 -1.25317102 -82.617187 -71.801410
    Unten rechts KachelX + 1 555 KachelY + 1 1621 -1.43887398 -1.25317102 -82.441406 -71.801410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25221146--1.25317102) × R
    0.000959559999999859 × 6371000     		dl = 6113.3567599991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25221146--1.25317102) × R
    0.000959559999999859 × 6371000     		dr = 6113.3567599991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44194194--1.43887398) × cos(-1.25221146) × R
    0.00306795999999987 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 6122.24740368388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44194194--1.43887398) × cos(-1.25317102) × R
    0.00306795999999987 × 0.312311532890939 × 6371000     		du = 6104.4328394445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25221146)-sin(-1.25317102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.312311532890939)×R²
    abs(-1.43887398--1.44194194)×0.000911418638179895×R²
    0.00306795999999987×0.000911418638179895×6371000²
    0.00306795999999987×0.000911418638179895×40589641000000     		ar = 37373032.0259539m²