Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55398 / 83001
↖ ↑ ↗
← S 43.183150°
W 27.844849°		 ← 222.71 m → S 43.183150°
W 27.842102°		 →
↑
222.67 m
↓
↑
222.67 m
↓
S 43.185153°
W 27.844849°		 ← 222.70 m →
49 589 m²		 S 43.185153°
W 27.842102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422657012939453 y=0.633251190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422657012939453 × 217)
    floor (0.422657012939453 × 131072)
    floor (55398.5)     		tx = 55398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633251190185547 × 217)
    floor (0.633251190185547 × 131072)
    floor (83001.5)     		ty = 83001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55398 / 83001 ti = "17/55398/83001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55398/83001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55398 ÷ 217
    55398 ÷ 131072     		x = 0.422653198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83001 ÷ 217
    83001 ÷ 131072     		y = 0.633247375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422653198242188 × 2 - 1) × π
    -0.154693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48598429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633247375488281 × 2 - 1) × π
    -0.266494750976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.837217951864281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48598429} λ = -0.48598429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837217951864281))-π/2
    2×atan(0.432913235111124)-π/2
    2×0.408554090559796-π/2
    0.817108181119593-1.57079632675     		φ = -0.75368815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48598429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.844849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75368815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.183150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55398 KachelY 83001 -0.48598429 -0.75368815 -27.844849 -43.183150
    Oben rechts KachelX + 1 55399 KachelY 83001 -0.48593635 -0.75368815 -27.842102 -43.183150
    Unten links KachelX 55398 KachelY + 1 83002 -0.48598429 -0.75372310 -27.844849 -43.185153
    Unten rechts KachelX + 1 55399 KachelY + 1 83002 -0.48593635 -0.75372310 -27.842102 -43.185153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75368815--0.75372310) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dl = 222.66644999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75368815--0.75372310) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dr = 222.66644999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48598429--0.48593635) × cos(-0.75368815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729169912205291 × 6371000     		do = 222.70726002089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48598429--0.48593635) × cos(-0.75372310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729145994332221 × 6371000     		du = 222.699954886808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75368815)-sin(-0.75372310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729169912205291-0.729145994332221)×R²
    abs(-0.48593635--0.48598429)×2.39178730698786e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39178730698786e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39178730698786e-05×40589641000000     		ar = 49588.621678951m²