Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55395 / 14564
↖ ↑ ↗
← N 80.071318°
W 27.853088°		 ← 52.66 m → N 80.071318°
W 27.850342°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.070845°
W 27.853088°		 ← 52.66 m →
2 771 m²		 N 80.070845°
W 27.850342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422634124755859 y=0.111118316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422634124755859 × 217)
    floor (0.422634124755859 × 131072)
    floor (55395.5)     		tx = 55395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111118316650391 × 217)
    floor (0.111118316650391 × 131072)
    floor (14564.5)     		ty = 14564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55395 / 14564 ti = "17/55395/14564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55395/14564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55395 ÷ 217
    55395 ÷ 131072     		x = 0.422630310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14564 ÷ 217
    14564 ÷ 131072     		y = 0.111114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422630310058594 × 2 - 1) × π
    -0.154739379882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.48612810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111114501953125 × 2 - 1) × π
    0.77777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4434396474335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48612810} λ = -0.48612810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4434396474335))-π/2
    2×atan(11.5125719055966)-π/2
    2×1.48415223412089-π/2
    2.96830446824177-1.57079632675     		φ = 1.39750814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48612810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.853088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39750814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.071318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55395 KachelY 14564 -0.48612810 1.39750814 -27.853088 80.071318
    Oben rechts KachelX + 1 55396 KachelY 14564 -0.48608016 1.39750814 -27.850342 80.071318
    Unten links KachelX 55395 KachelY + 1 14565 -0.48612810 1.39749988 -27.853088 80.070845
    Unten rechts KachelX + 1 55396 KachelY + 1 14565 -0.48608016 1.39749988 -27.850342 80.070845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39750814-1.39749988) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39750814-1.39749988) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48612810--0.48608016) × cos(1.39750814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172422215429273 × 6371000     		do = 52.6621827399516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48612810--0.48608016) × cos(1.39749988) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172430351714499 × 6371000     		du = 52.6646677708877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39750814)-sin(1.39749988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172422215429273-0.172430351714499)×R²
    abs(-0.48608016--0.48612810)×8.13628522619569e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.13628522619569e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.13628522619569e-06×40589641000000     		ar = 2771.38431598055m²