Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55394 / 14529
↖ ↑ ↗
← N 80.087880°
W 27.855835°		 ← 52.58 m → N 80.087880°
W 27.853088°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.087407°
W 27.855835°		 ← 52.58 m →
2 763 m²		 N 80.087407°
W 27.853088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422626495361328 y=0.110851287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422626495361328 × 217)
    floor (0.422626495361328 × 131072)
    floor (55394.5)     		tx = 55394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110851287841797 × 217)
    floor (0.110851287841797 × 131072)
    floor (14529.5)     		ty = 14529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55394 / 14529 ti = "17/55394/14529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55394/14529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55394 ÷ 217
    55394 ÷ 131072     		x = 0.422622680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14529 ÷ 217
    14529 ÷ 131072     		y = 0.110847473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422622680664062 × 2 - 1) × π
    -0.154754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48617604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110847473144531 × 2 - 1) × π
    0.778305053710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.4451174389202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48617604} λ = -0.48617604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4451174389202))-π/2
    2×atan(11.5319038136503)-π/2
    2×1.48429675892194-π/2
    2.96859351784387-1.57079632675     		φ = 1.39779719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48617604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.855835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39779719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.087880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55394 KachelY 14529 -0.48617604 1.39779719 -27.855835 80.087880
    Oben rechts KachelX + 1 55395 KachelY 14529 -0.48612810 1.39779719 -27.853088 80.087880
    Unten links KachelX 55394 KachelY + 1 14530 -0.48617604 1.39778894 -27.855835 80.087407
    Unten rechts KachelX + 1 55395 KachelY + 1 14530 -0.48612810 1.39778894 -27.853088 80.087407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39779719-1.39778894) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dl = 52.560749998859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39779719-1.39778894) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dr = 52.560749998859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48617604--0.48612810) × cos(1.39779719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172137487292676 × 6371000     		do = 52.5752194380716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48617604--0.48612810) × cos(1.39778894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172145614138524 × 6371000     		du = 52.5777015859786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39779719)-sin(1.39778894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172137487292676-0.172145614138524)×R²
    abs(-0.48612810--0.48617604)×8.12684584788892e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.12684584788892e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.12684584788892e-06×40589641000000     		ar = 2763.45819678117m²