Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55393 / 18147
↖ ↑ ↗
← N 78.222832°
W 27.858581°		 ← 62.33 m → N 78.222832°
W 27.855835°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.222271°
W 27.858581°		 ← 62.33 m →
3 888 m²		 N 78.222271°
W 27.855835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422618865966797 y=0.138454437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422618865966797 × 217)
    floor (0.422618865966797 × 131072)
    floor (55393.5)     		tx = 55393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138454437255859 × 217)
    floor (0.138454437255859 × 131072)
    floor (18147.5)     		ty = 18147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55393 / 18147 ti = "17/55393/18147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55393/18147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55393 ÷ 217
    55393 ÷ 131072     		x = 0.422615051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18147 ÷ 217
    18147 ÷ 131072     		y = 0.138450622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422615051269531 × 2 - 1) × π
    -0.154769897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48622397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138450622558594 × 2 - 1) × π
    0.723098754882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.27168173609484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48622397} λ = -0.48622397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27168173609484))-π/2
    2×atan(9.69569270729096)-π/2
    2×1.46802114245457-π/2
    2.93604228490914-1.57079632675     		φ = 1.36524596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48622397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.858581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36524596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.222832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55393 KachelY 18147 -0.48622397 1.36524596 -27.858581 78.222832
    Oben rechts KachelX + 1 55394 KachelY 18147 -0.48617604 1.36524596 -27.855835 78.222832
    Unten links KachelX 55393 KachelY + 1 18148 -0.48622397 1.36523617 -27.858581 78.222271
    Unten rechts KachelX + 1 55394 KachelY + 1 18148 -0.48617604 1.36523617 -27.855835 78.222271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36524596-1.36523617) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36524596-1.36523617) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48622397--0.48617604) × cos(1.36524596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204105971703021 × 6371000     		do = 62.326213854395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48622397--0.48617604) × cos(1.36523617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204115555601988 × 6371000     		du = 62.329140413239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36524596)-sin(1.36523617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204105971703021-0.204115555601988)×R²
    abs(-0.48617604--0.48622397)×9.58389896715817e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.58389896715817e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.58389896715817e-06×40589641000000     		ar = 3887.50748774167m²