Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55390 / 18298
↖ ↑ ↗
← N 78.137881°
W 27.866821°		 ← 62.77 m → N 78.137881°
W 27.864075°		 →
↑
62.82 m
↓
↑
62.82 m
↓
N 78.137316°
W 27.866821°		 ← 62.77 m →
3 943 m²		 N 78.137316°
W 27.864075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422595977783203 y=0.139606475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422595977783203 × 217)
    floor (0.422595977783203 × 131072)
    floor (55390.5)     		tx = 55390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139606475830078 × 217)
    floor (0.139606475830078 × 131072)
    floor (18298.5)     		ty = 18298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55390 / 18298 ti = "17/55390/18298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55390/18298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55390 ÷ 217
    55390 ÷ 131072     		x = 0.422592163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18298 ÷ 217
    18298 ÷ 131072     		y = 0.139602661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422592163085938 × 2 - 1) × π
    -0.154815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48636778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139602661132812 × 2 - 1) × π
    0.720794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26444326425221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48636778} λ = -0.48636778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26444326425221))-π/2
    2×atan(9.62576410208263)-π/2
    2×1.46727981158567-π/2
    2.93455962317134-1.57079632675     		φ = 1.36376330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48636778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.866821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36376330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.137881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55390 KachelY 18298 -0.48636778 1.36376330 -27.866821 78.137881
    Oben rechts KachelX + 1 55391 KachelY 18298 -0.48631985 1.36376330 -27.864075 78.137881
    Unten links KachelX 55390 KachelY + 1 18299 -0.48636778 1.36375344 -27.866821 78.137316
    Unten rechts KachelX + 1 55391 KachelY + 1 18299 -0.48631985 1.36375344 -27.864075 78.137316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36376330-1.36375344) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dl = 62.8180600001795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36376330-1.36375344) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dr = 62.8180600001795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48636778--0.48631985) × cos(1.36376330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205557195057446 × 6371000     		do = 62.7693623638862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48636778--0.48631985) × cos(1.36375344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205566844488179 × 6371000     		du = 62.7723089336432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36376330)-sin(1.36375344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205557195057446-0.205566844488179)×R²
    abs(-0.48631985--0.48636778)×9.64943073308855e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.64943073308855e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.64943073308855e-06×40589641000000     		ar = 3943.14212002879m²