Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55389 / 42651
↖ ↑ ↗
← N 53.075878°
W 27.869568°		 ← 183.49 m → N 53.075878°
W 27.866821°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
N 53.074228°
W 27.869568°		 ← 183.49 m →
33 668 m²		 N 53.074228°
W 27.866821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422588348388672 y=0.325405120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422588348388672 × 217)
    floor (0.422588348388672 × 131072)
    floor (55389.5)     		tx = 55389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325405120849609 × 217)
    floor (0.325405120849609 × 131072)
    floor (42651.5)     		ty = 42651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55389 / 42651 ti = "17/55389/42651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55389/42651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55389 ÷ 217
    55389 ÷ 131072     		x = 0.422584533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42651 ÷ 217
    42651 ÷ 131072     		y = 0.325401306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422584533691406 × 2 - 1) × π
    -0.154830932617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48641572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325401306152344 × 2 - 1) × π
    0.349197387695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.09703594780499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48641572} λ = -0.48641572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09703594780499))-π/2
    2×atan(2.99527470272869)-π/2
    2×1.24857257190249-π/2
    2.49714514380498-1.57079632675     		φ = 0.92634882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48641572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.869568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92634882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.075878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55389 KachelY 42651 -0.48641572 0.92634882 -27.869568 53.075878
    Oben rechts KachelX + 1 55390 KachelY 42651 -0.48636778 0.92634882 -27.866821 53.075878
    Unten links KachelX 55389 KachelY + 1 42652 -0.48641572 0.92632002 -27.869568 53.074228
    Unten rechts KachelX + 1 55390 KachelY + 1 42652 -0.48636778 0.92632002 -27.866821 53.074228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92634882-0.92632002) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dl = 183.484799999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92634882-0.92632002) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dr = 183.484799999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48641572--0.48636778) × cos(0.92634882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600756849587535 × 6371000     		do = 183.486605345221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48641572--0.48636778) × cos(0.92632002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600779872974313 × 6371000     		du = 183.493637280165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92634882)-sin(0.92632002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600756849587535-0.600779872974313)×R²
    abs(-0.48636778--0.48641572)×2.30233867777319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30233867777319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30233867777319e-05×40589641000000     		ar = 33667.6482132294m²