Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55385 / 18826
↖ ↑ ↗
← N 77.836062°
W 27.880554°		 ← 64.36 m → N 77.836062°
W 27.877808°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.835483°
W 27.880554°		 ← 64.36 m →
4 145 m²		 N 77.835483°
W 27.877808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422557830810547 y=0.143634796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422557830810547 × 217)
    floor (0.422557830810547 × 131072)
    floor (55385.5)     		tx = 55385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143634796142578 × 217)
    floor (0.143634796142578 × 131072)
    floor (18826.5)     		ty = 18826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55385 / 18826 ti = "17/55385/18826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55385/18826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55385 ÷ 217
    55385 ÷ 131072     		x = 0.422554016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18826 ÷ 217
    18826 ÷ 131072     		y = 0.143630981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422554016113281 × 2 - 1) × π
    -0.154891967773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.48660747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143630981445312 × 2 - 1) × π
    0.712738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23913258125282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48660747} λ = -0.48660747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23913258125282))-π/2
    2×atan(9.38518686860707)-π/2
    2×1.46464594094556-π/2
    2.92929188189111-1.57079632675     		φ = 1.35849556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48660747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.880554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35849556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.836062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55385 KachelY 18826 -0.48660747 1.35849556 -27.880554 77.836062
    Oben rechts KachelX + 1 55386 KachelY 18826 -0.48655953 1.35849556 -27.877808 77.836062
    Unten links KachelX 55385 KachelY + 1 18827 -0.48660747 1.35848545 -27.880554 77.835483
    Unten rechts KachelX + 1 55386 KachelY + 1 18827 -0.48655953 1.35848545 -27.877808 77.835483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35849556-1.35848545) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dl = 64.4108099989875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35849556-1.35848545) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dr = 64.4108099989875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48660747--0.48655953) × cos(1.35849556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210709567169913 × 6371000     		do = 64.3561254779082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48660747--0.48655953) × cos(1.35848545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210719450176591 × 6371000     		du = 64.3591440025364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35849556)-sin(1.35848545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210709567169913-0.210719450176591)×R²
    abs(-0.48655953--0.48660747)×9.88300667828512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.88300667828512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.88300667828512e-06×40589641000000     		ar = 4145.3273832907m²