Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55385 / 18822
N 77.838376°
W 27.880554°
← 64.34 m → N 77.838376°
W 27.877808°

64.28 m

64.28 m
N 77.837798°
W 27.880554°
← 64.35 m →
4 136 m²
N 77.837798°
W 27.877808°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422557830810547 y=0.143604278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422557830810547 × 217)
    floor (0.422557830810547 × 131072)
    floor (55385.5)
    tx = 55385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143604278564453 × 217)
    floor (0.143604278564453 × 131072)
    floor (18822.5)
    ty = 18822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55385 / 18822 ti = "17/55385/18822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55385/18822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55385 ÷ 217
    55385 ÷ 131072
    x = 0.422554016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18822 ÷ 217
    18822 ÷ 131072
    y = 0.143600463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.422554016113281 × 2 - 1) × π
    -0.154891967773438 × 3.1415926535
    Λ = -0.48660747
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.143600463867188 × 2 - 1) × π
    0.712799072265625 × 3.1415926535
    Φ = 2.2393243288513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48660747} λ = -0.48660747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2393243288513))-π/2
    2×atan(9.38698662819468)-π/2
    2×1.46466614057956-π/2
    2.92933228115911-1.57079632675
    φ = 1.35853595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48660747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.880554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35853595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.838376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55385 KachelY 18822 -0.48660747 1.35853595 -27.880554 77.838376
    Oben rechts KachelX + 1 55386 KachelY 18822 -0.48655953 1.35853595 -27.877808 77.838376
    Unten links KachelX 55385 KachelY + 1 18823 -0.48660747 1.35852586 -27.880554 77.837798
    Unten rechts KachelX + 1 55386 KachelY + 1 18823 -0.48655953 1.35852586 -27.877808 77.837798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.35853595-1.35852586) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000
    dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.35853595-1.35852586) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000
    dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48660747--0.48655953) × cos(1.35853595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2106700838057 × 6371000
    do = 64.3440662421757m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48660747--0.48655953) × cos(1.35852586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210679947347312 × 6371000
    du = 64.3470788216717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.35853595)-sin(1.35852586))×
    abs(λ12)×abs(0.2106700838057-0.210679947347312)×
    abs(-0.48655953--0.48660747)×9.8635416123094e-06×
    4.79399999999686e-05×9.8635416123094e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.8635416123094e-06×40589641000000
    ar = 4136.3515338799m²