Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55384 / 42648
↖ ↑ ↗
← N 53.080828°
W 27.883300°		 ← 183.43 m → N 53.080828°
W 27.880554°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
N 53.079177°
W 27.883300°		 ← 183.43 m →
33 657 m²		 N 53.079177°
W 27.880554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422550201416016 y=0.325382232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422550201416016 × 217)
    floor (0.422550201416016 × 131072)
    floor (55384.5)     		tx = 55384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325382232666016 × 217)
    floor (0.325382232666016 × 131072)
    floor (42648.5)     		ty = 42648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55384 / 42648 ti = "17/55384/42648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55384/42648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55384 ÷ 217
    55384 ÷ 131072     		x = 0.42254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42648 ÷ 217
    42648 ÷ 131072     		y = 0.32537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.1549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48665540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32537841796875 × 2 - 1) × π
    0.3492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09717975850385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48665540} λ = -0.48665540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09717975850385))-π/2
    2×atan(2.99570548625186)-π/2
    2×1.24861576705075-π/2
    2.49723153410149-1.57079632675     		φ = 0.92643521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48665540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.883300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92643521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.080828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55384 KachelY 42648 -0.48665540 0.92643521 -27.883300 53.080828
    Oben rechts KachelX + 1 55385 KachelY 42648 -0.48660747 0.92643521 -27.880554 53.080828
    Unten links KachelX 55384 KachelY + 1 42649 -0.48665540 0.92640641 -27.883300 53.079177
    Unten rechts KachelX + 1 55385 KachelY + 1 42649 -0.48660747 0.92640641 -27.880554 53.079177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92643521-0.92640641) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dl = 183.484799999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92643521-0.92640641) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dr = 183.484799999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48665540--0.48660747) × cos(0.92643521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600687784432365 × 6371000     		do = 183.427241250582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48665540--0.48660747) × cos(0.92640641) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600710809313788 × 6371000     		du = 183.434272175113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92643521)-sin(0.92640641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600687784432365-0.600710809313788)×R²
    abs(-0.48660747--0.48665540)×2.30248814226952e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30248814226952e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30248814226952e-05×40589641000000     		ar = 33656.7557115483m²