Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55383 / 42645
↖ ↑ ↗
← N 53.085777°
W 27.886047°		 ← 183.44 m → N 53.085777°
W 27.883300°		 →
↑
183.42 m
↓
↑
183.42 m
↓
N 53.084127°
W 27.886047°		 ← 183.45 m →
33 648 m²		 N 53.084127°
W 27.883300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422542572021484 y=0.325359344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422542572021484 × 217)
    floor (0.422542572021484 × 131072)
    floor (55383.5)     		tx = 55383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325359344482422 × 217)
    floor (0.325359344482422 × 131072)
    floor (42645.5)     		ty = 42645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55383 / 42645 ti = "17/55383/42645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55383/42645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55383 ÷ 217
    55383 ÷ 131072     		x = 0.422538757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42645 ÷ 217
    42645 ÷ 131072     		y = 0.325355529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422538757324219 × 2 - 1) × π
    -0.154922485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.48670334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325355529785156 × 2 - 1) × π
    0.349288940429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09732356920271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48670334} λ = -0.48670334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09732356920271))-π/2
    2×atan(2.99613633173077)-π/2
    2×1.24865895723296-π/2
    2.49731791446592-1.57079632675     		φ = 0.92652159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48670334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.886047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92652159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.085777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55383 KachelY 42645 -0.48670334 0.92652159 -27.886047 53.085777
    Oben rechts KachelX + 1 55384 KachelY 42645 -0.48665540 0.92652159 -27.883300 53.085777
    Unten links KachelX 55383 KachelY + 1 42646 -0.48670334 0.92649280 -27.886047 53.084127
    Unten rechts KachelX + 1 55384 KachelY + 1 42646 -0.48665540 0.92649280 -27.883300 53.084127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92652159-0.92649280) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dl = 183.421090000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92652159-0.92649280) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dr = 183.421090000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48670334--0.48665540) × cos(0.92652159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600618722789478 × 6371000     		do = 183.444417865711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48670334--0.48665540) × cos(0.92649280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600641741170018 × 6371000     		du = 183.451448271621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92652159)-sin(0.92649280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600618722789478-0.600641741170018)×R²
    abs(-0.48665540--0.48670334)×2.30183805400852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30183805400852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30183805400852e-05×40589641000000     		ar = 33648.2198439328m²