Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55382 / 42641
↖ ↑ ↗
← N 53.092375°
W 27.888794°		 ← 183.42 m → N 53.092375°
W 27.886047°		 →
↑
183.42 m
↓
↑
183.42 m
↓
N 53.090725°
W 27.888794°		 ← 183.42 m →
33 643 m²		 N 53.090725°
W 27.886047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422534942626953 y=0.325328826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422534942626953 × 217)
    floor (0.422534942626953 × 131072)
    floor (55382.5)     		tx = 55382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325328826904297 × 217)
    floor (0.325328826904297 × 131072)
    floor (42641.5)     		ty = 42641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55382 / 42641 ti = "17/55382/42641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55382/42641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55382 ÷ 217
    55382 ÷ 131072     		x = 0.422531127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42641 ÷ 217
    42641 ÷ 131072     		y = 0.325325012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422531127929688 × 2 - 1) × π
    -0.154937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48675128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325325012207031 × 2 - 1) × π
    0.349349975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.09751531680119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48675128} λ = -0.48675128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09751531680119))-π/2
    2×atan(2.9967108887603)-π/2
    2×1.24871653641804-π/2
    2.49743307283608-1.57079632675     		φ = 0.92663675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48675128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.888794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92663675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.092375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55382 KachelY 42641 -0.48675128 0.92663675 -27.888794 53.092375
    Oben rechts KachelX + 1 55383 KachelY 42641 -0.48670334 0.92663675 -27.886047 53.092375
    Unten links KachelX 55382 KachelY + 1 42642 -0.48675128 0.92660796 -27.888794 53.090725
    Unten rechts KachelX + 1 55383 KachelY + 1 42642 -0.48670334 0.92660796 -27.886047 53.090725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92663675-0.92660796) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dl = 183.421090000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92663675-0.92660796) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dr = 183.421090000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48675128--0.48670334) × cos(0.92663675) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600526644289195 × 6371000     		do = 183.416294721836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48675128--0.48670334) × cos(0.92660796) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600549664660946 × 6371000     		du = 183.423325735913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92663675)-sin(0.92660796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600526644289195-0.600549664660946)×R²
    abs(-0.48670334--0.48675128)×2.3020371750837e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3020371750837e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3020371750837e-05×40589641000000     		ar = 33643.0615221822m²