Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55380 / 18804
↖ ↑ ↗
← N 77.848787°
W 27.894287°		 ← 64.28 m → N 77.848787°
W 27.891541°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.848209°
W 27.894287°		 ← 64.28 m →
4 132 m²		 N 77.848209°
W 27.891541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422519683837891 y=0.143466949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422519683837891 × 217)
    floor (0.422519683837891 × 131072)
    floor (55380.5)     		tx = 55380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143466949462891 × 217)
    floor (0.143466949462891 × 131072)
    floor (18804.5)     		ty = 18804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55380 / 18804 ti = "17/55380/18804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55380/18804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55380 ÷ 217
    55380 ÷ 131072     		x = 0.422515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18804 ÷ 217
    18804 ÷ 131072     		y = 0.143463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.15496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48684715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143463134765625 × 2 - 1) × π
    0.71307373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24018719304446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48684715} λ = -0.48684715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24018719304446))-π/2
    2×atan(9.39508981831138)-π/2
    2×1.46475699209119-π/2
    2.92951398418237-1.57079632675     		φ = 1.35871766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48684715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.894287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35871766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.848787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55380 KachelY 18804 -0.48684715 1.35871766 -27.894287 77.848787
    Oben rechts KachelX + 1 55381 KachelY 18804 -0.48679922 1.35871766 -27.891541 77.848787
    Unten links KachelX 55380 KachelY + 1 18805 -0.48684715 1.35870757 -27.894287 77.848209
    Unten rechts KachelX + 1 55381 KachelY + 1 18805 -0.48679922 1.35870757 -27.891541 77.848209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35871766-1.35870757) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35871766-1.35870757) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48684715--0.48679922) × cos(1.35871766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210492448406464 × 6371000     		do = 64.2764013451074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48684715--0.48679922) × cos(1.35870757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210502312334176 × 6371000     		du = 64.2794134140975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35871766)-sin(1.35870757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210492448406464-0.210502312334176)×R²
    abs(-0.48679922--0.48684715)×9.86392771237798e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.86392771237798e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.86392771237798e-06×40589641000000     		ar = 4132.0017884132m²