Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5538 / 3487
↖ ↑ ↗
← N 80.358835°
W119.157715°		 ← 204.59 m → N 80.358835°
W119.146729°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 80.356996°
W119.157715°		 ← 204.62 m →
41 857 m²		 N 80.356996°
W119.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169021606445312 y=0.106430053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169021606445312 × 215)
    floor (0.169021606445312 × 32768)
    floor (5538.5)     		tx = 5538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106430053710938 × 215)
    floor (0.106430053710938 × 32768)
    floor (3487.5)     		ty = 3487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5538 / 3487 ti = "15/5538/3487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5538/3487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5538 ÷ 215
    5538 ÷ 32768     		x = 0.16900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3487 ÷ 215
    3487 ÷ 32768     		y = 0.106414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.6619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07969445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106414794921875 × 2 - 1) × π
    0.78717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47296877759946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07969445} λ = -2.07969445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47296877759946))-π/2
    2×atan(11.8575972180236)-π/2
    2×1.48666129508991-π/2
    2.97332259017982-1.57079632675     		φ = 1.40252626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07969445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.157715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40252626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.358835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5538 KachelY 3487 -2.07969445 1.40252626 -119.157715 80.358835
    Oben rechts KachelX + 1 5539 KachelY 3487 -2.07950271 1.40252626 -119.146729 80.358835
    Unten links KachelX 5538 KachelY + 1 3488 -2.07969445 1.40249415 -119.157715 80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 5539 KachelY + 1 3488 -2.07950271 1.40249415 -119.146729 80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40252626-1.40249415) × R
    3.21099999998076e-05 × 6371000     		dl = 204.572809998774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40252626-1.40249415) × R
    3.21099999998076e-05 × 6371000     		dr = 204.572809998774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07969445--2.07950271) × cos(1.40252626) × R
    0.000191739999999996 × 0.167477100949376 × 6371000     		do = 204.585930029864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07969445--2.07950271) × cos(1.40249415) × R
    0.000191739999999996 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 204.624600702708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40252626)-sin(1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167477100949376-0.167508757340305)×R²
    abs(-2.07950271--2.07969445)×3.16563909290579e-05×R²
    0.000191739999999996×3.16563909290579e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.16563909290579e-05×40589641000000     		ar = 41856.6740804992m²