Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55378 / 42690
↖ ↑ ↗
← N 53.011478°
W 27.899780°		 ← 183.76 m → N 53.011478°
W 27.897034°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
N 53.009826°
W 27.899780°		 ← 183.77 m →
33 765 m²		 N 53.009826°
W 27.897034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422504425048828 y=0.325702667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422504425048828 × 217)
    floor (0.422504425048828 × 131072)
    floor (55378.5)     		tx = 55378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325702667236328 × 217)
    floor (0.325702667236328 × 131072)
    floor (42690.5)     		ty = 42690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55378 / 42690 ti = "17/55378/42690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55378/42690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55378 ÷ 217
    55378 ÷ 131072     		x = 0.422500610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42690 ÷ 217
    42690 ÷ 131072     		y = 0.325698852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422500610351562 × 2 - 1) × π
    -0.154998779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48694303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325698852539062 × 2 - 1) × π
    0.348602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0951664087198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48694303} λ = -0.48694303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0951664087198))-π/2
    2×atan(2.98968015084728)-π/2
    2×1.24801058295193-π/2
    2.49602116590387-1.57079632675     		φ = 0.92522484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48694303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.899780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92522484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.011478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55378 KachelY 42690 -0.48694303 0.92522484 -27.899780 53.011478
    Oben rechts KachelX + 1 55379 KachelY 42690 -0.48689509 0.92522484 -27.897034 53.011478
    Unten links KachelX 55378 KachelY + 1 42691 -0.48694303 0.92519600 -27.899780 53.009826
    Unten rechts KachelX + 1 55379 KachelY + 1 42691 -0.48689509 0.92519600 -27.897034 53.009826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92522484-0.92519600) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dl = 183.739640000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92522484-0.92519600) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dr = 183.739640000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48694303--0.48689509) × cos(0.92522484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601655015278948 × 6371000     		do = 183.760928266376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48694303--0.48689509) × cos(0.92519600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601678051153489 × 6371000     		du = 183.767964015404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92522484)-sin(0.92519600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601655015278948-0.601678051153489)×R²
    abs(-0.48689509--0.48694303)×2.30358745408887e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30358745408887e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30358745408887e-05×40589641000000     		ar = 33764.8131810792m²