Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55378 / 14538
↖ ↑ ↗
← N 80.083624°
W 27.899780°		 ← 52.60 m → N 80.083624°
W 27.897034°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.083150°
W 27.899780°		 ← 52.60 m →
2 768 m²		 N 80.083150°
W 27.897034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422504425048828 y=0.110919952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422504425048828 × 217)
    floor (0.422504425048828 × 131072)
    floor (55378.5)     		tx = 55378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110919952392578 × 217)
    floor (0.110919952392578 × 131072)
    floor (14538.5)     		ty = 14538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55378 / 14538 ti = "17/55378/14538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55378/14538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55378 ÷ 217
    55378 ÷ 131072     		x = 0.422500610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14538 ÷ 217
    14538 ÷ 131072     		y = 0.110916137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422500610351562 × 2 - 1) × π
    -0.154998779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48694303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110916137695312 × 2 - 1) × π
    0.778167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44468600682362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48694303} λ = -0.48694303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44468600682362))-π/2
    2×atan(11.5269296532938)-π/2
    2×1.48425961821198-π/2
    2.96851923642396-1.57079632675     		φ = 1.39772291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48694303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.899780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39772291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.083624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55378 KachelY 14538 -0.48694303 1.39772291 -27.899780 80.083624
    Oben rechts KachelX + 1 55379 KachelY 14538 -0.48689509 1.39772291 -27.897034 80.083624
    Unten links KachelX 55378 KachelY + 1 14539 -0.48694303 1.39771465 -27.899780 80.083150
    Unten rechts KachelX + 1 55379 KachelY + 1 14539 -0.48689509 1.39771465 -27.897034 80.083150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39772291-1.39771465) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39772291-1.39771465) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48694303--0.48689509) × cos(1.39772291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172210658035266 × 6371000     		do = 52.5975676663346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48694303--0.48689509) × cos(1.39771465) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172218794626189 × 6371000     		du = 52.6000527906383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39772291)-sin(1.39771465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172210658035266-0.172218794626189)×R²
    abs(-0.48689509--0.48694303)×8.13659092280261e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.13659092280261e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.13659092280261e-06×40589641000000     		ar = 2767.9839848076m²