Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55373 / 18819
↖ ↑ ↗
← N 77.840112°
W 27.913513°		 ← 64.34 m → N 77.840112°
W 27.910766°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.839534°
W 27.913513°		 ← 64.34 m →
4 140 m²		 N 77.839534°
W 27.910766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422466278076172 y=0.143581390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422466278076172 × 217)
    floor (0.422466278076172 × 131072)
    floor (55373.5)     		tx = 55373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143581390380859 × 217)
    floor (0.143581390380859 × 131072)
    floor (18819.5)     		ty = 18819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55373 / 18819 ti = "17/55373/18819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55373/18819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55373 ÷ 217
    55373 ÷ 131072     		x = 0.422462463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18819 ÷ 217
    18819 ÷ 131072     		y = 0.143577575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422462463378906 × 2 - 1) × π
    -0.155075073242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48718271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143577575683594 × 2 - 1) × π
    0.712844848632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.23946813955016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48718271} λ = -0.48718271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23946813955016))-π/2
    2×atan(9.38833667437509)-π/2
    2×1.46468128782049-π/2
    2.92936257564098-1.57079632675     		φ = 1.35856625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48718271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.913513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35856625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.840112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55373 KachelY 18819 -0.48718271 1.35856625 -27.913513 77.840112
    Oben rechts KachelX + 1 55374 KachelY 18819 -0.48713477 1.35856625 -27.910766 77.840112
    Unten links KachelX 55373 KachelY + 1 18820 -0.48718271 1.35855615 -27.913513 77.839534
    Unten rechts KachelX + 1 55374 KachelY + 1 18820 -0.48713477 1.35855615 -27.910766 77.839534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35856625-1.35855615) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dl = 64.3470999993747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35856625-1.35855615) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dr = 64.3470999993747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48718271--0.48713477) × cos(1.35856625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210640463725272 × 6371000     		do = 64.3350195072665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48718271--0.48713477) × cos(1.35855615) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210650337106903 × 6371000     		du = 64.3380350921576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35856625)-sin(1.35855615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210640463725272-0.210650337106903)×R²
    abs(-0.48713477--0.48718271)×9.87338163149776e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.87338163149776e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.87338163149776e-06×40589641000000     		ar = 4139.86895585305m²