Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55373 / 14540
↖ ↑ ↗
← N 80.082678°
W 27.913513°		 ← 52.60 m → N 80.082678°
W 27.910766°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.082204°
W 27.913513°		 ← 52.61 m →
2 768 m²		 N 80.082204°
W 27.910766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422466278076172 y=0.110935211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422466278076172 × 217)
    floor (0.422466278076172 × 131072)
    floor (55373.5)     		tx = 55373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110935211181641 × 217)
    floor (0.110935211181641 × 131072)
    floor (14540.5)     		ty = 14540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55373 / 14540 ti = "17/55373/14540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55373/14540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55373 ÷ 217
    55373 ÷ 131072     		x = 0.422462463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14540 ÷ 217
    14540 ÷ 131072     		y = 0.110931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422462463378906 × 2 - 1) × π
    -0.155075073242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48718271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110931396484375 × 2 - 1) × π
    0.77813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44459013302438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48718271} λ = -0.48718271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44459013302438))-π/2
    2×atan(11.5258245757292)-π/2
    2×1.4842513625771-π/2
    2.9685027251542-1.57079632675     		φ = 1.39770640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48718271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.913513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39770640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.082678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55373 KachelY 14540 -0.48718271 1.39770640 -27.913513 80.082678
    Oben rechts KachelX + 1 55374 KachelY 14540 -0.48713477 1.39770640 -27.910766 80.082678
    Unten links KachelX 55373 KachelY + 1 14541 -0.48718271 1.39769814 -27.913513 80.082204
    Unten rechts KachelX + 1 55374 KachelY + 1 14541 -0.48713477 1.39769814 -27.910766 80.082204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39770640-1.39769814) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39770640-1.39769814) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48718271--0.48713477) × cos(1.39770640) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172226921354789 × 6371000     		do = 52.6025349027347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48718271--0.48713477) × cos(1.39769814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172235057922225 × 6371000     		du = 52.605020019865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39770640)-sin(1.39769814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172226921354789-0.172235057922225)×R²
    abs(-0.48713477--0.48718271)×8.13656743631208e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.13656743631208e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.13656743631208e-06×40589641000000     		ar = 2768.2453828792m²