Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55372 / 44230
↖ ↑ ↗
← N 50.391010°
W 27.916260°		 ← 194.72 m → N 50.391010°
W 27.913513°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 50.389259°
W 27.916260°		 ← 194.73 m →
37 913 m²		 N 50.389259°
W 27.913513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422458648681641 y=0.337451934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422458648681641 × 217)
    floor (0.422458648681641 × 131072)
    floor (55372.5)     		tx = 55372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337451934814453 × 217)
    floor (0.337451934814453 × 131072)
    floor (44230.5)     		ty = 44230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55372 / 44230 ti = "17/55372/44230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55372/44230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55372 ÷ 217
    55372 ÷ 131072     		x = 0.422454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44230 ÷ 217
    44230 ÷ 131072     		y = 0.337448120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48723065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337448120117188 × 2 - 1) × π
    0.325103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02134358330492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48723065} λ = -0.48723065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02134358330492))-π/2
    2×atan(2.77692328637978)-π/2
    2×1.22514268296005-π/2
    2.4502853659201-1.57079632675     		φ = 0.87948904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48723065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.916260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87948904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.391010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55372 KachelY 44230 -0.48723065 0.87948904 -27.916260 50.391010
    Oben rechts KachelX + 1 55373 KachelY 44230 -0.48718271 0.87948904 -27.913513 50.391010
    Unten links KachelX 55372 KachelY + 1 44231 -0.48723065 0.87945848 -27.916260 50.389259
    Unten rechts KachelX + 1 55373 KachelY + 1 44231 -0.48718271 0.87945848 -27.913513 50.389259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87948904-0.87945848) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87948904-0.87945848) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48723065--0.48718271) × cos(0.87948904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637544877745259 × 6371000     		do = 194.722616068428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48723065--0.48718271) × cos(0.87945848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637568421275539 × 6371000     		du = 194.729806868585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87948904)-sin(0.87945848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637544877745259-0.637568421275539)×R²
    abs(-0.48718271--0.48723065)×2.35435302798903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35435302798903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35435302798903e-05×40589641000000     		ar = 37912.7571893113m²