Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55369 / 14535
↖ ↑ ↗
← N 80.085042°
W 27.924500°		 ← 52.59 m → N 80.085042°
W 27.921753°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.084570°
W 27.924500°		 ← 52.59 m →
2 764 m²		 N 80.084570°
W 27.921753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422435760498047 y=0.110897064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422435760498047 × 217)
    floor (0.422435760498047 × 131072)
    floor (55369.5)     		tx = 55369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110897064208984 × 217)
    floor (0.110897064208984 × 131072)
    floor (14535.5)     		ty = 14535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55369 / 14535 ti = "17/55369/14535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55369/14535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55369 ÷ 217
    55369 ÷ 131072     		x = 0.422431945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14535 ÷ 217
    14535 ÷ 131072     		y = 0.110893249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422431945800781 × 2 - 1) × π
    -0.155136108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.48737446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110893249511719 × 2 - 1) × π
    0.778213500976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.44482981752248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48737446} λ = -0.48737446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44482981752248))-π/2
    2×atan(11.5285874683059)-π/2
    2×1.48427200020249-π/2
    2.96854400040499-1.57079632675     		φ = 1.39774767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48737446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.924500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39774767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.085042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55369 KachelY 14535 -0.48737446 1.39774767 -27.924500 80.085042
    Oben rechts KachelX + 1 55370 KachelY 14535 -0.48732652 1.39774767 -27.921753 80.085042
    Unten links KachelX 55369 KachelY + 1 14536 -0.48737446 1.39773942 -27.924500 80.084570
    Unten rechts KachelX + 1 55370 KachelY + 1 14536 -0.48732652 1.39773942 -27.921753 80.084570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39774767-1.39773942) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dl = 52.5607500002736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39774767-1.39773942) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dr = 52.5607500002736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48737446--0.48732652) × cos(1.39774767) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172186267893291 × 6371000     		do = 52.5901182891731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48737446--0.48732652) × cos(1.39773942) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172194394668803 × 6371000     		du = 52.5926004155975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39774767)-sin(1.39773942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172186267893291-0.172194394668803)×R²
    abs(-0.48732652--0.48737446)×8.12677551143004e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.12677551143004e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.12677551143004e-06×40589641000000     		ar = 2764.24129116664m²