Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55366 / 44226
↖ ↑ ↗
← N 50.398014°
W 27.932739°		 ← 194.69 m → N 50.398014°
W 27.929993°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 50.396263°
W 27.932739°		 ← 194.70 m →
37 907 m²		 N 50.396263°
W 27.929993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422412872314453 y=0.337421417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422412872314453 × 217)
    floor (0.422412872314453 × 131072)
    floor (55366.5)     		tx = 55366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337421417236328 × 217)
    floor (0.337421417236328 × 131072)
    floor (44226.5)     		ty = 44226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55366 / 44226 ti = "17/55366/44226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55366/44226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55366 ÷ 217
    55366 ÷ 131072     		x = 0.422409057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44226 ÷ 217
    44226 ÷ 131072     		y = 0.337417602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422409057617188 × 2 - 1) × π
    -0.155181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48751827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337417602539062 × 2 - 1) × π
    0.325164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0215353309034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48751827} λ = -0.48751827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0215353309034))-π/2
    2×atan(2.77745580580413)-π/2
    2×1.22520380229504-π/2
    2.45040760459009-1.57079632675     		φ = 0.87961128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48751827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.932739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87961128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.398014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55366 KachelY 44226 -0.48751827 0.87961128 -27.932739 50.398014
    Oben rechts KachelX + 1 55367 KachelY 44226 -0.48747033 0.87961128 -27.929993 50.398014
    Unten links KachelX 55366 KachelY + 1 44227 -0.48751827 0.87958072 -27.932739 50.396263
    Unten rechts KachelX + 1 55367 KachelY + 1 44227 -0.48747033 0.87958072 -27.929993 50.396263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87961128-0.87958072) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87961128-0.87958072) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48751827--0.48747033) × cos(0.87961128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637450697670241 × 6371000     		do = 194.693851049322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48751827--0.48747033) × cos(0.87958072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637474243582036 × 6371000     		du = 194.701042576856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87961128)-sin(0.87958072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637450697670241-0.637474243582036)×R²
    abs(-0.48747033--0.48751827)×2.35459117953196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35459117953196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35459117953196e-05×40589641000000     		ar = 37907.1567752372m²