Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55366 / 42691
↖ ↑ ↗
← N 53.009826°
W 27.932739°		 ← 183.77 m → N 53.009826°
W 27.929993°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 53.008173°
W 27.932739°		 ← 183.78 m →
33 778 m²		 N 53.008173°
W 27.929993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422412872314453 y=0.325710296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422412872314453 × 217)
    floor (0.422412872314453 × 131072)
    floor (55366.5)     		tx = 55366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325710296630859 × 217)
    floor (0.325710296630859 × 131072)
    floor (42691.5)     		ty = 42691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55366 / 42691 ti = "17/55366/42691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55366/42691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55366 ÷ 217
    55366 ÷ 131072     		x = 0.422409057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42691 ÷ 217
    42691 ÷ 131072     		y = 0.325706481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422409057617188 × 2 - 1) × π
    -0.155181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48751827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325706481933594 × 2 - 1) × π
    0.348587036132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.09511847182018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48751827} λ = -0.48751827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09511847182018))-π/2
    2×atan(2.989536838285)-π/2
    2×1.24799616193779-π/2
    2.49599232387559-1.57079632675     		φ = 0.92519600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48751827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.932739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92519600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.009826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55366 KachelY 42691 -0.48751827 0.92519600 -27.932739 53.009826
    Oben rechts KachelX + 1 55367 KachelY 42691 -0.48747033 0.92519600 -27.929993 53.009826
    Unten links KachelX 55366 KachelY + 1 42692 -0.48751827 0.92516715 -27.932739 53.008173
    Unten rechts KachelX + 1 55367 KachelY + 1 42692 -0.48747033 0.92516715 -27.929993 53.008173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92519600-0.92516715) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92519600-0.92516715) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48751827--0.48747033) × cos(0.92519600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601678051153489 × 6371000     		do = 183.767964015192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48751827--0.48747033) × cos(0.92516715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6017010945148 × 6371000     		du = 183.775002050872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92519600)-sin(0.92516715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601678051153489-0.6017010945148)×R²
    abs(-0.48747033--0.48751827)×2.30433613113146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30433613113146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30433613113146e-05×40589641000000     		ar = 33777.8142181658m²