Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55364 / 42693
↖ ↑ ↗
← N 53.006521°
W 27.938232°		 ← 183.74 m → N 53.006521°
W 27.935486°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 53.004868°
W 27.938232°		 ← 183.75 m →
33 773 m²		 N 53.004868°
W 27.935486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422397613525391 y=0.325725555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422397613525391 × 217)
    floor (0.422397613525391 × 131072)
    floor (55364.5)     		tx = 55364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325725555419922 × 217)
    floor (0.325725555419922 × 131072)
    floor (42693.5)     		ty = 42693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55364 / 42693 ti = "17/55364/42693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55364/42693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55364 ÷ 217
    55364 ÷ 131072     		x = 0.422393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42693 ÷ 217
    42693 ÷ 131072     		y = 0.325721740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.15521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48761414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325721740722656 × 2 - 1) × π
    0.348556518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09502259802094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48761414} λ = -0.48761414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09502259802094))-π/2
    2×atan(2.98925023376949)-π/2
    2×1.24796731825297-π/2
    2.49593463650595-1.57079632675     		φ = 0.92513831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48761414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92513831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.006521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55364 KachelY 42693 -0.48761414 0.92513831 -27.938232 53.006521
    Oben rechts KachelX + 1 55365 KachelY 42693 -0.48756621 0.92513831 -27.935486 53.006521
    Unten links KachelX 55364 KachelY + 1 42694 -0.48761414 0.92510946 -27.938232 53.004868
    Unten rechts KachelX + 1 55365 KachelY + 1 42694 -0.48756621 0.92510946 -27.935486 53.004868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92513831-0.92510946) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92513831-0.92510946) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48761414--0.48756621) × cos(0.92513831) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.601724129388262 × 6371000     		do = 183.743701649882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48761414--0.48756621) × cos(0.92510946) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.601747171748109 × 6371000     		du = 183.750737911661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92513831)-sin(0.92510946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601724129388262-0.601747171748109)×R²
    abs(-0.48756621--0.48761414)×2.30423598470697e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30423598470697e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30423598470697e-05×40589641000000     		ar = 33773.3545511353m²