Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55361 / 18500
↖ ↑ ↗
← N 78.023294°
W 27.946472°		 ← 63.37 m → N 78.023294°
W 27.943726°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.022724°
W 27.946472°		 ← 63.37 m →
4 013 m²		 N 78.022724°
W 27.943726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422374725341797 y=0.141147613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422374725341797 × 217)
    floor (0.422374725341797 × 131072)
    floor (55361.5)     		tx = 55361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141147613525391 × 217)
    floor (0.141147613525391 × 131072)
    floor (18500.5)     		ty = 18500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55361 / 18500 ti = "17/55361/18500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55361/18500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55361 ÷ 217
    55361 ÷ 131072     		x = 0.422370910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18500 ÷ 217
    18500 ÷ 131072     		y = 0.141143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422370910644531 × 2 - 1) × π
    -0.155258178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48775795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141143798828125 × 2 - 1) × π
    0.71771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25476001052896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48775795} λ = -0.48775795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25476001052896))-π/2
    2×atan(9.53300521471945)-π/2
    2×1.46627985042611-π/2
    2.93255970085223-1.57079632675     		φ = 1.36176337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48775795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.946472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36176337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.023294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55361 KachelY 18500 -0.48775795 1.36176337 -27.946472 78.023294
    Oben rechts KachelX + 1 55362 KachelY 18500 -0.48771002 1.36176337 -27.943726 78.023294
    Unten links KachelX 55361 KachelY + 1 18501 -0.48775795 1.36175343 -27.946472 78.022724
    Unten rechts KachelX + 1 55362 KachelY + 1 18501 -0.48771002 1.36175343 -27.943726 78.022724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36176337-1.36175343) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36176337-1.36175343) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48775795--0.48771002) × cos(1.36176337) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.207514004370067 × 6371000     		do = 63.3668976278379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48775795--0.48771002) × cos(1.36175343) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.207523727986364 × 6371000     		du = 63.3698668510492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36176337)-sin(1.36175343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207514004370067-0.207523727986364)×R²
    abs(-0.48771002--0.48775795)×9.72361629650309e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.72361629650309e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.72361629650309e-06×40589641000000     		ar = 4012.97643462739m²