Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55360 / 44219
↖ ↑ ↗
← N 50.410268°
W 27.949219°		 ← 194.64 m → N 50.410268°
W 27.946472°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.408517°
W 27.949219°		 ← 194.65 m →
37 885 m²		 N 50.408517°
W 27.946472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422367095947266 y=0.337368011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422367095947266 × 217)
    floor (0.422367095947266 × 131072)
    floor (55360.5)     		tx = 55360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337368011474609 × 217)
    floor (0.337368011474609 × 131072)
    floor (44219.5)     		ty = 44219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55360 / 44219 ti = "17/55360/44219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55360/44219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55360 ÷ 217
    55360 ÷ 131072     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44219 ÷ 217
    44219 ÷ 131072     		y = 0.337364196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337364196777344 × 2 - 1) × π
    0.325271606445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.02187088920074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02187088920074))-π/2
    2×atan(2.77838796053265)-π/2
    2×1.22531073940528-π/2
    2.45062147881056-1.57079632675     		φ = 0.87982515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87982515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.410268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55360 KachelY 44219 -0.48780589 0.87982515 -27.949219 50.410268
    Oben rechts KachelX + 1 55361 KachelY 44219 -0.48775795 0.87982515 -27.946472 50.410268
    Unten links KachelX 55360 KachelY + 1 44220 -0.48780589 0.87979460 -27.949219 50.408517
    Unten rechts KachelX + 1 55361 KachelY + 1 44220 -0.48775795 0.87979460 -27.946472 50.408517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87982515-0.87979460) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dl = 194.634049999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87982515-0.87979460) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dr = 194.634049999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48775795) × cos(0.87982515) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63728589815121 × 6371000     		do = 194.643517034496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48775795) × cos(0.87979460) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637309440522757 × 6371000     		du = 194.650707480747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87982515)-sin(0.87979460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63728589815121-0.637309440522757)×R²
    abs(-0.48775795--0.48780589)×2.35423715468919e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35423715468919e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35423715468919e-05×40589641000000     		ar = 37884.955782363m²