Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55360 / 42688
↖ ↑ ↗
← N 53.014783°
W 27.949219°		 ← 183.75 m → N 53.014783°
W 27.946472°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
N 53.013131°
W 27.949219°		 ← 183.75 m →
33 762 m²		 N 53.013131°
W 27.946472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422367095947266 y=0.325687408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422367095947266 × 217)
    floor (0.422367095947266 × 131072)
    floor (55360.5)     		tx = 55360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325687408447266 × 217)
    floor (0.325687408447266 × 131072)
    floor (42688.5)     		ty = 42688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55360 / 42688 ti = "17/55360/42688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55360/42688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55360 ÷ 217
    55360 ÷ 131072     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42688 ÷ 217
    42688 ÷ 131072     		y = 0.32568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32568359375 × 2 - 1) × π
    0.3486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09526228251904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09526228251904))-π/2
    2×atan(2.98996679658254)-π/2
    2×1.24803942332372-π/2
    2.49607884664743-1.57079632675     		φ = 0.92528252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92528252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.014783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55360 KachelY 42688 -0.48780589 0.92528252 -27.949219 53.014783
    Oben rechts KachelX + 1 55361 KachelY 42688 -0.48775795 0.92528252 -27.946472 53.014783
    Unten links KachelX 55360 KachelY + 1 42689 -0.48780589 0.92525368 -27.949219 53.013131
    Unten rechts KachelX + 1 55361 KachelY + 1 42689 -0.48775795 0.92525368 -27.946472 53.013131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92528252-0.92525368) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dl = 183.739640000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92528252-0.92525368) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dr = 183.739640000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48775795) × cos(0.92528252) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601608942028614 × 6371000     		do = 183.746856309799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48775795) × cos(0.92525368) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601631978903983 × 6371000     		du = 183.753892364506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92528252)-sin(0.92525368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601608942028614-0.601631978903983)×R²
    abs(-0.48775795--0.48780589)×2.30368753695309e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30368753695309e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30368753695309e-05×40589641000000     		ar = 33762.2276329032m²