Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55359 / 44218
↖ ↑ ↗
← N 50.412018°
W 27.951965°		 ← 194.64 m → N 50.412018°
W 27.949219°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.410268°
W 27.951965°		 ← 194.64 m →
37 884 m²		 N 50.410268°
W 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422359466552734 y=0.337360382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422359466552734 × 217)
    floor (0.422359466552734 × 131072)
    floor (55359.5)     		tx = 55359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337360382080078 × 217)
    floor (0.337360382080078 × 131072)
    floor (44218.5)     		ty = 44218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55359 / 44218 ti = "17/55359/44218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55359/44218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55359 ÷ 217
    55359 ÷ 131072     		x = 0.422355651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44218 ÷ 217
    44218 ÷ 131072     		y = 0.337356567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422355651855469 × 2 - 1) × π
    -0.155288696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.48785383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337356567382812 × 2 - 1) × π
    0.325286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02191882610036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48785383} λ = -0.48785383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02191882610036))-π/2
    2×atan(2.77852115102976)-π/2
    2×1.22532601387817-π/2
    2.45065202775635-1.57079632675     		φ = 0.87985570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48785383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.951965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87985570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.412018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55359 KachelY 44218 -0.48785383 0.87985570 -27.951965 50.412018
    Oben rechts KachelX + 1 55360 KachelY 44218 -0.48780589 0.87985570 -27.949219 50.412018
    Unten links KachelX 55359 KachelY + 1 44219 -0.48785383 0.87982515 -27.951965 50.410268
    Unten rechts KachelX + 1 55360 KachelY + 1 44219 -0.48780589 0.87982515 -27.949219 50.410268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87985570-0.87982515) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dl = 194.634050000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87985570-0.87982515) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dr = 194.634050000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48785383--0.48780589) × cos(0.87985570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637262355184883 × 6371000     		do = 194.636326406358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48785383--0.48780589) × cos(0.87982515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63728589815121 × 6371000     		du = 194.64351703427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87985570)-sin(0.87982515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637262355184883-0.63728589815121)×R²
    abs(-0.48780589--0.48785383)×2.3542966327561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3542966327561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3542966327561e-05×40589641000000     		ar = 37883.5562591238m²