Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55359 / 14571
↖ ↑ ↗
← N 80.068003°
W 27.951965°		 ← 52.68 m → N 80.068003°
W 27.949219°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.067529°
W 27.951965°		 ← 52.68 m →
2 772 m²		 N 80.067529°
W 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422359466552734 y=0.111171722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422359466552734 × 217)
    floor (0.422359466552734 × 131072)
    floor (55359.5)     		tx = 55359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111171722412109 × 217)
    floor (0.111171722412109 × 131072)
    floor (14571.5)     		ty = 14571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55359 / 14571 ti = "17/55359/14571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55359/14571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55359 ÷ 217
    55359 ÷ 131072     		x = 0.422355651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14571 ÷ 217
    14571 ÷ 131072     		y = 0.111167907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422355651855469 × 2 - 1) × π
    -0.155288696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.48785383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111167907714844 × 2 - 1) × π
    0.777664184570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.44310408913616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48785383} λ = -0.48785383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44310408913616))-π/2
    2×atan(11.5087094146516)-π/2
    2×1.48412330048713-π/2
    2.96824660097427-1.57079632675     		φ = 1.39745027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48785383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.951965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39745027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.068003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55359 KachelY 14571 -0.48785383 1.39745027 -27.951965 80.068003
    Oben rechts KachelX + 1 55360 KachelY 14571 -0.48780589 1.39745027 -27.949219 80.068003
    Unten links KachelX 55359 KachelY + 1 14572 -0.48785383 1.39744201 -27.951965 80.067529
    Unten rechts KachelX + 1 55360 KachelY + 1 14572 -0.48780589 1.39744201 -27.949219 80.067529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39745027-1.39744201) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39745027-1.39744201) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48785383--0.48780589) × cos(1.39745027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172479218429441 × 6371000     		do = 52.679592923399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48785383--0.48780589) × cos(1.39744201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172487354632232 × 6371000     		du = 52.6820779291574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39745027)-sin(1.39744201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172479218429441-0.172487354632232)×R²
    abs(-0.48780589--0.48785383)×8.13620279171978e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.13620279171978e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.13620279171978e-06×40589641000000     		ar = 2772.30051666982m²