Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55356 / 17788
↖ ↑ ↗
← N 78.422398°
W 27.960205°		 ← 61.30 m → N 78.422398°
W 27.957458°		 →
↑
61.29 m
↓
↑
61.29 m
↓
N 78.421847°
W 27.960205°		 ← 61.30 m →
3 757 m²		 N 78.421847°
W 27.957458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422336578369141 y=0.135715484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422336578369141 × 217)
    floor (0.422336578369141 × 131072)
    floor (55356.5)     		tx = 55356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135715484619141 × 217)
    floor (0.135715484619141 × 131072)
    floor (17788.5)     		ty = 17788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55356 / 17788 ti = "17/55356/17788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55356/17788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55356 ÷ 217
    55356 ÷ 131072     		x = 0.422332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17788 ÷ 217
    17788 ÷ 131072     		y = 0.135711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.15533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48799764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135711669921875 × 2 - 1) × π
    0.72857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28889108305844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48799764} λ = -0.48799764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28889108305844))-π/2
    2×atan(9.86399326482757)-π/2
    2×1.46976269294446-π/2
    2.93952538588892-1.57079632675     		φ = 1.36872906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48799764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.960205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36872906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.422398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55356 KachelY 17788 -0.48799764 1.36872906 -27.960205 78.422398
    Oben rechts KachelX + 1 55357 KachelY 17788 -0.48794970 1.36872906 -27.957458 78.422398
    Unten links KachelX 55356 KachelY + 1 17789 -0.48799764 1.36871944 -27.960205 78.421847
    Unten rechts KachelX + 1 55357 KachelY + 1 17789 -0.48794970 1.36871944 -27.957458 78.421847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36872906-1.36871944) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dl = 61.2890199995697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36872906-1.36871944) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dr = 61.2890199995697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48799764--0.48794970) × cos(1.36872906) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.200694963929449 × 6371000     		do = 61.297407872456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48799764--0.48794970) × cos(1.36871944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.200704388189539 × 6371000     		du = 61.3002862840681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36872906)-sin(1.36871944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200694963929449-0.200704388189539)×R²
    abs(-0.48794970--0.48799764)×9.42426009045705e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.42426009045705e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.42426009045705e-06×40589641000000     		ar = 3756.94626440554m²