Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55354 / 18192
↖ ↑ ↗
← N 78.197578°
W 27.965698°		 ← 62.46 m → N 78.197578°
W 27.962952°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.197016°
W 27.965698°		 ← 62.46 m →
3 900 m²		 N 78.197016°
W 27.962952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422321319580078 y=0.138797760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422321319580078 × 217)
    floor (0.422321319580078 × 131072)
    floor (55354.5)     		tx = 55354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138797760009766 × 217)
    floor (0.138797760009766 × 131072)
    floor (18192.5)     		ty = 18192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55354 / 18192 ti = "17/55354/18192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55354/18192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55354 ÷ 217
    55354 ÷ 131072     		x = 0.422317504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18192 ÷ 217
    18192 ÷ 131072     		y = 0.1387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422317504882812 × 2 - 1) × π
    -0.155364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48809351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1387939453125 × 2 - 1) × π
    0.722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26952457561194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48809351} λ = -0.48809351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26952457561194))-π/2
    2×atan(9.67480008460016)-π/2
    2×1.46780076518254-π/2
    2.93560153036508-1.57079632675     		φ = 1.36480520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48809351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36480520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.197578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55354 KachelY 18192 -0.48809351 1.36480520 -27.965698 78.197578
    Oben rechts KachelX + 1 55355 KachelY 18192 -0.48804558 1.36480520 -27.962952 78.197578
    Unten links KachelX 55354 KachelY + 1 18193 -0.48809351 1.36479540 -27.965698 78.197016
    Unten rechts KachelX + 1 55355 KachelY + 1 18193 -0.48804558 1.36479540 -27.962952 78.197016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36480520-1.36479540) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dl = 62.4357999996734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36480520-1.36479540) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dr = 62.4357999996734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48809351--0.48804558) × cos(1.36480520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204537433336209 × 6371000     		do = 62.4579658545727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48809351--0.48804558) × cos(1.36479540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204547026142067 × 6371000     		du = 62.4608951332428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36480520)-sin(1.36479540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204537433336209-0.204547026142067)×R²
    abs(-0.48804558--0.48809351)×9.59280585741129e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.59280585741129e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.59280585741129e-06×40589641000000     		ar = 3899.70451046601m²