Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55354 / 14570
↖ ↑ ↗
← N 80.068476°
W 27.965698°		 ← 52.67 m → N 80.068476°
W 27.962952°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.068003°
W 27.965698°		 ← 52.67 m →
2 775 m²		 N 80.068003°
W 27.962952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422321319580078 y=0.111164093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422321319580078 × 217)
    floor (0.422321319580078 × 131072)
    floor (55354.5)     		tx = 55354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111164093017578 × 217)
    floor (0.111164093017578 × 131072)
    floor (14570.5)     		ty = 14570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55354 / 14570 ti = "17/55354/14570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55354/14570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55354 ÷ 217
    55354 ÷ 131072     		x = 0.422317504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14570 ÷ 217
    14570 ÷ 131072     		y = 0.111160278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422317504882812 × 2 - 1) × π
    -0.155364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48809351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111160278320312 × 2 - 1) × π
    0.777679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44315202603578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48809351} λ = -0.48809351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44315202603578))-π/2
    2×atan(11.509261119723)-π/2
    2×1.48412743444892-π/2
    2.96825486889785-1.57079632675     		φ = 1.39745854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48809351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39745854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.068476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55354 KachelY 14570 -0.48809351 1.39745854 -27.965698 80.068476
    Oben rechts KachelX + 1 55355 KachelY 14570 -0.48804558 1.39745854 -27.962952 80.068476
    Unten links KachelX 55354 KachelY + 1 14571 -0.48809351 1.39745027 -27.965698 80.068003
    Unten rechts KachelX + 1 55355 KachelY + 1 14571 -0.48804558 1.39745027 -27.962952 80.068003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39745854-1.39745027) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dl = 52.6881699994992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39745854-1.39745027) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dr = 52.6881699994992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48809351--0.48804558) × cos(1.39745854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172471072364735 × 6371000     		do = 52.6661167736047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48809351--0.48804558) × cos(1.39745027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172479218429441 × 6371000     		du = 52.6686042724596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39745854)-sin(1.39745027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172471072364735-0.172479218429441)×R²
    abs(-0.48804558--0.48809351)×8.14606470533885e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.14606470533885e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.14606470533885e-06×40589641000000     		ar = 2774.94684470002m²