Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55352 / 14567
↖ ↑ ↗
← N 80.069897°
W 27.971192°		 ← 52.67 m → N 80.069897°
W 27.968445°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.069424°
W 27.971192°		 ← 52.67 m →
2 772 m²		 N 80.069424°
W 27.968445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422306060791016 y=0.111141204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422306060791016 × 217)
    floor (0.422306060791016 × 131072)
    floor (55352.5)     		tx = 55352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111141204833984 × 217)
    floor (0.111141204833984 × 131072)
    floor (14567.5)     		ty = 14567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55352 / 14567 ti = "17/55352/14567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55352/14567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55352 ÷ 217
    55352 ÷ 131072     		x = 0.42230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14567 ÷ 217
    14567 ÷ 131072     		y = 0.111137390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.1553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48818939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111137390136719 × 2 - 1) × π
    0.777725219726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.44329583673464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48818939} λ = -0.48818939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44329583673464))-π/2
    2×atan(11.5109163936282)-π/2
    2×1.48413983516316-π/2
    2.96827967032633-1.57079632675     		φ = 1.39748334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48818939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.971192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39748334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.069897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55352 KachelY 14567 -0.48818939 1.39748334 -27.971192 80.069897
    Oben rechts KachelX + 1 55353 KachelY 14567 -0.48814145 1.39748334 -27.968445 80.069897
    Unten links KachelX 55352 KachelY + 1 14568 -0.48818939 1.39747508 -27.971192 80.069424
    Unten rechts KachelX + 1 55353 KachelY + 1 14568 -0.48814145 1.39747508 -27.968445 80.069424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39748334-1.39747508) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39748334-1.39747508) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48818939--0.48814145) × cos(1.39748334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172446643950035 × 6371000     		do = 52.6696438389824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48818939--0.48814145) × cos(1.39747508) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172454780199937 × 6371000     		du = 52.6721288591297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39748334)-sin(1.39747508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172446643950035-0.172454780199937)×R²
    abs(-0.48814145--0.48818939)×8.13624990250728e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.13624990250728e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.13624990250728e-06×40589641000000     		ar = 2771.77695187844m²