Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55350 / 14566
↖ ↑ ↗
← N 80.070371°
W 27.976685°		 ← 52.67 m → N 80.070371°
W 27.973938°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.069897°
W 27.976685°		 ← 52.67 m →
2 775 m²		 N 80.069897°
W 27.973938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422290802001953 y=0.111133575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422290802001953 × 217)
    floor (0.422290802001953 × 131072)
    floor (55350.5)     		tx = 55350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111133575439453 × 217)
    floor (0.111133575439453 × 131072)
    floor (14566.5)     		ty = 14566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55350 / 14566 ti = "17/55350/14566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55350/14566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55350 ÷ 217
    55350 ÷ 131072     		x = 0.422286987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14566 ÷ 217
    14566 ÷ 131072     		y = 0.111129760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422286987304688 × 2 - 1) × π
    -0.155426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48828526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111129760742188 × 2 - 1) × π
    0.777740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44334377363426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48828526} λ = -0.48828526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44334377363426))-π/2
    2×atan(11.5114682044978)-π/2
    2×1.48414396834423-π/2
    2.96828793668845-1.57079632675     		φ = 1.39749161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48828526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.976685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39749161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.070371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55350 KachelY 14566 -0.48828526 1.39749161 -27.976685 80.070371
    Oben rechts KachelX + 1 55351 KachelY 14566 -0.48823732 1.39749161 -27.973938 80.070371
    Unten links KachelX 55350 KachelY + 1 14567 -0.48828526 1.39748334 -27.976685 80.069897
    Unten rechts KachelX + 1 55351 KachelY + 1 14567 -0.48823732 1.39748334 -27.973938 80.069897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39749161-1.39748334) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39749161-1.39748334) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48828526--0.48823732) × cos(1.39749161) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172438497838164 × 6371000     		do = 52.667155806736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48828526--0.48823732) × cos(1.39748334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172446643950035 × 6371000     		du = 52.6696438389824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39749161)-sin(1.39748334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172438497838164-0.172446643950035)×R²
    abs(-0.48823732--0.48828526)×8.1461118711379e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.1461118711379e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.1461118711379e-06×40589641000000     		ar = 2775.00160365135m²