Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5535 / 11909
↖ ↑ ↗
← S 62.965212°
W 58.381348°		 ← 1 110.55 m → S 62.965212°
W 58.359375°		 →
↑
1 110.34 m
↓
↑
1 110.34 m
↓
S 62.975197°
W 58.381348°		 ← 1 110.17 m →
1 232 872 m²		 S 62.975197°
W 58.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337860107421875 y=0.726898193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337860107421875 × 214)
    floor (0.337860107421875 × 16384)
    floor (5535.5)     		tx = 5535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726898193359375 × 214)
    floor (0.726898193359375 × 16384)
    floor (11909.5)     		ty = 11909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5535 / 11909 ti = "14/5535/11909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5535/11909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5535 ÷ 214
    5535 ÷ 16384     		x = 0.33782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11909 ÷ 214
    11909 ÷ 16384     		y = 0.72686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.01894674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.4537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42545164710199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01894674} λ = -1.01894674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42545164710199))-π/2
    2×atan(0.24039986278431)-π/2
    2×0.235923031481866-π/2
    0.471846062963732-1.57079632675     		φ = -1.09895026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01894674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.381348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09895026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.965212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5535 KachelY 11909 -1.01894674 -1.09895026 -58.381348 -62.965212
    Oben rechts KachelX + 1 5536 KachelY 11909 -1.01856324 -1.09895026 -58.359375 -62.965212
    Unten links KachelX 5535 KachelY + 1 11910 -1.01894674 -1.09912454 -58.381348 -62.975197
    Unten rechts KachelX + 1 5536 KachelY + 1 11910 -1.01856324 -1.09912454 -58.359375 -62.975197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09895026--1.09912454) × R
    0.000174279999999971 × 6371000     		dl = 1110.33787999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09895026--1.09912454) × R
    0.000174279999999971 × 6371000     		dr = 1110.33787999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01894674--1.01856324) × cos(-1.09895026) × R
    0.000383500000000092 × 0.454531407346886 × 6371000     		do = 1110.54681514566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01894674--1.01856324) × cos(-1.09912454) × R
    0.000383500000000092 × 0.454376163896479 × 6371000     		du = 1110.16751216101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09895026)-sin(-1.09912454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454531407346886-0.454376163896479)×R²
    abs(-1.01856324--1.01894674)×0.000155243450407405×R²
    0.000383500000000092×0.000155243450407405×6371000²
    0.000383500000000092×0.000155243450407405×40589641000000     		ar = 1232871.62225368m²