Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55348 / 42806
↖ ↑ ↗
← N 52.819363°
W 27.982178°		 ← 184.54 m → N 52.819363°
W 27.979431°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 52.817703°
W 27.982178°		 ← 184.55 m →
34 061 m²		 N 52.817703°
W 27.979431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422275543212891 y=0.326587677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422275543212891 × 217)
    floor (0.422275543212891 × 131072)
    floor (55348.5)     		tx = 55348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326587677001953 × 217)
    floor (0.326587677001953 × 131072)
    floor (42806.5)     		ty = 42806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55348 / 42806 ti = "17/55348/42806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55348/42806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55348 ÷ 217
    55348 ÷ 131072     		x = 0.422271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42806 ÷ 217
    42806 ÷ 131072     		y = 0.326583862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.15545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48838113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326583862304688 × 2 - 1) × π
    0.346832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08960572836388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48838113} λ = -0.48838113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08960572836388))-π/2
    2×atan(2.97310163180345)-π/2
    2×1.24633405998002-π/2
    2.49266811996003-1.57079632675     		φ = 0.92187179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48838113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.982178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92187179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.819363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55348 KachelY 42806 -0.48838113 0.92187179 -27.982178 52.819363
    Oben rechts KachelX + 1 55349 KachelY 42806 -0.48833320 0.92187179 -27.979431 52.819363
    Unten links KachelX 55348 KachelY + 1 42807 -0.48838113 0.92184282 -27.982178 52.817703
    Unten rechts KachelX + 1 55349 KachelY + 1 42807 -0.48833320 0.92184282 -27.979431 52.817703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92187179-0.92184282) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92187179-0.92184282) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48838113--0.48833320) × cos(0.92187179) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604329897081912 × 6371000     		do = 184.539404162523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48838113--0.48833320) × cos(0.92184282) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604352978217906 × 6371000     		du = 184.546452265065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92187179)-sin(0.92184282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604329897081912-0.604352978217906)×R²
    abs(-0.48833320--0.48838113)×2.30811359944738e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30811359944738e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30811359944738e-05×40589641000000     		ar = 34060.6951865602m²