Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55345 / 18191
↖ ↑ ↗
← N 78.198140°
W 27.990417°		 ← 62.46 m → N 78.198140°
W 27.987671°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.197578°
W 27.990417°		 ← 62.46 m →
3 904 m²		 N 78.197578°
W 27.987671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422252655029297 y=0.138790130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422252655029297 × 217)
    floor (0.422252655029297 × 131072)
    floor (55345.5)     		tx = 55345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138790130615234 × 217)
    floor (0.138790130615234 × 131072)
    floor (18191.5)     		ty = 18191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55345 / 18191 ti = "17/55345/18191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55345/18191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55345 ÷ 217
    55345 ÷ 131072     		x = 0.422248840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18191 ÷ 217
    18191 ÷ 131072     		y = 0.138786315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422248840332031 × 2 - 1) × π
    -0.155502319335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48852494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138786315917969 × 2 - 1) × π
    0.722427368164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.26957251251156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48852494} λ = -0.48852494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26957251251156))-π/2
    2×atan(9.67526387563693)-π/2
    2×1.46780566751265-π/2
    2.93561133502529-1.57079632675     		φ = 1.36481501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48852494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.990417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36481501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.198140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55345 KachelY 18191 -0.48852494 1.36481501 -27.990417 78.198140
    Oben rechts KachelX + 1 55346 KachelY 18191 -0.48847701 1.36481501 -27.987671 78.198140
    Unten links KachelX 55345 KachelY + 1 18192 -0.48852494 1.36480520 -27.990417 78.197578
    Unten rechts KachelX + 1 55346 KachelY + 1 18192 -0.48847701 1.36480520 -27.987671 78.197578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36481501-1.36480520) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dl = 62.4995100007009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36481501-1.36480520) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dr = 62.4995100007009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48852494--0.48847701) × cos(1.36481501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2045278307221 × 6371000     		do = 62.4550335808352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48852494--0.48847701) × cos(1.36480520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204537433336209 × 6371000     		du = 62.4579658545727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36481501)-sin(1.36480520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2045278307221-0.204537433336209)×R²
    abs(-0.48847701--0.48852494)×9.60261410878904e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.60261410878904e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.60261410878904e-06×40589641000000     		ar = 3903.50062880482m²