Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55344 / 44240
↖ ↑ ↗
← N 50.373496°
W 27.993164°		 ← 194.79 m → N 50.373496°
W 27.990417°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
N 50.371744°
W 27.993164°		 ← 194.80 m →
37 939 m²		 N 50.371744°
W 27.990417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422245025634766 y=0.337528228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422245025634766 × 217)
    floor (0.422245025634766 × 131072)
    floor (55344.5)     		tx = 55344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337528228759766 × 217)
    floor (0.337528228759766 × 131072)
    floor (44240.5)     		ty = 44240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55344 / 44240 ti = "17/55344/44240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55344/44240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55344 ÷ 217
    55344 ÷ 131072     		x = 0.4222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44240 ÷ 217
    44240 ÷ 131072     		y = 0.3375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3375244140625 × 2 - 1) × π
    0.324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02086421430872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48857288} λ = -0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02086421430872))-π/2
    2×atan(2.77559243446152)-π/2
    2×1.22498984511753-π/2
    2.44997969023505-1.57079632675     		φ = 0.87918336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87918336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.373496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55344 KachelY 44240 -0.48857288 0.87918336 -27.993164 50.373496
    Oben rechts KachelX + 1 55345 KachelY 44240 -0.48852494 0.87918336 -27.990417 50.373496
    Unten links KachelX 55344 KachelY + 1 44241 -0.48857288 0.87915279 -27.993164 50.371744
    Unten rechts KachelX + 1 55345 KachelY + 1 44241 -0.48852494 0.87915279 -27.990417 50.371744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87918336-0.87915279) × R
    3.0569999999952e-05 × 6371000     		dl = 194.761469999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87918336-0.87915279) × R
    3.0569999999952e-05 × 6371000     		dr = 194.761469999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48857288--0.48852494) × cos(0.87918336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637780347868364 × 6371000     		do = 194.794534705025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48857288--0.48852494) × cos(0.87915279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637803893143745 × 6371000     		du = 194.801726038181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87918336)-sin(0.87915279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637780347868364-0.637803893143745)×R²
    abs(-0.48852494--0.48857288)×2.3545275381176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3545275381176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3545275381176e-05×40589641000000     		ar = 37939.1702274106m²