Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55344 / 44235
↖ ↑ ↗
← N 50.382254°
W 27.993164°		 ← 194.76 m → N 50.382254°
W 27.990417°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
N 50.380503°
W 27.993164°		 ← 194.77 m →
37 932 m²		 N 50.380503°
W 27.990417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422245025634766 y=0.337490081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422245025634766 × 217)
    floor (0.422245025634766 × 131072)
    floor (55344.5)     		tx = 55344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337490081787109 × 217)
    floor (0.337490081787109 × 131072)
    floor (44235.5)     		ty = 44235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55344 / 44235 ti = "17/55344/44235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55344/44235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55344 ÷ 217
    55344 ÷ 131072     		x = 0.4222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44235 ÷ 217
    44235 ÷ 131072     		y = 0.337486267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337486267089844 × 2 - 1) × π
    0.325027465820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.02110389880682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48857288} λ = -0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02110389880682))-π/2
    2×atan(2.77625778067451)-π/2
    2×1.22506627109351-π/2
    2.45013254218701-1.57079632675     		φ = 0.87933622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87933622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.382254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55344 KachelY 44235 -0.48857288 0.87933622 -27.993164 50.382254
    Oben rechts KachelX + 1 55345 KachelY 44235 -0.48852494 0.87933622 -27.990417 50.382254
    Unten links KachelX 55344 KachelY + 1 44236 -0.48857288 0.87930565 -27.993164 50.380503
    Unten rechts KachelX + 1 55345 KachelY + 1 44236 -0.48852494 0.87930565 -27.990417 50.380503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87933622-0.87930565) × R
    3.0569999999952e-05 × 6371000     		dl = 194.761469999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87933622-0.87930565) × R
    3.0569999999952e-05 × 6371000     		dr = 194.761469999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48857288--0.48852494) × cos(0.87933622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637662604848416 × 6371000     		do = 194.758572956027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48857288--0.48852494) × cos(0.87930565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63768615310388 × 6371000     		du = 194.765765199378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87933622)-sin(0.87930565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637662604848416-0.63768615310388)×R²
    abs(-0.48852494--0.48857288)×2.35482554641342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35482554641342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35482554641342e-05×40589641000000     		ar = 37932.1663529091m²