Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55342 / 18184
↖ ↑ ↗
← N 78.202072°
W 27.998657°		 ← 62.43 m → N 78.202072°
W 27.995911°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.201510°
W 27.998657°		 ← 62.44 m →
3 898 m²		 N 78.201510°
W 27.995911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422229766845703 y=0.138736724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422229766845703 × 217)
    floor (0.422229766845703 × 131072)
    floor (55342.5)     		tx = 55342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138736724853516 × 217)
    floor (0.138736724853516 × 131072)
    floor (18184.5)     		ty = 18184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55342 / 18184 ti = "17/55342/18184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55342/18184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55342 ÷ 217
    55342 ÷ 131072     		x = 0.422225952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18184 ÷ 217
    18184 ÷ 131072     		y = 0.13873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422225952148438 × 2 - 1) × π
    -0.155548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48866875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13873291015625 × 2 - 1) × π
    0.7225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2699080708089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48866875} λ = -0.48866875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2699080708089))-π/2
    2×atan(9.6785110354846)-π/2
    2×1.46783997738313-π/2
    2.93567995476625-1.57079632675     		φ = 1.36488363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48866875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.998657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36488363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.202072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55342 KachelY 18184 -0.48866875 1.36488363 -27.998657 78.202072
    Oben rechts KachelX + 1 55343 KachelY 18184 -0.48862082 1.36488363 -27.995911 78.202072
    Unten links KachelX 55342 KachelY + 1 18185 -0.48866875 1.36487383 -27.998657 78.201510
    Unten rechts KachelX + 1 55343 KachelY + 1 18185 -0.48862082 1.36487383 -27.995911 78.201510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36488363-1.36487383) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dl = 62.4357999996734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36488363-1.36487383) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dr = 62.4357999996734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48866875--0.48862082) × cos(1.36488363) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204460660816008 × 6371000     		do = 62.4345224418835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48866875--0.48862082) × cos(1.36487383) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.20447025377905 × 6371000     		du = 62.4374517685517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36488363)-sin(1.36487383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204460660816008-0.20447025377905)×R²
    abs(-0.48862082--0.48866875)×9.59296304192669e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.59296304192669e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.59296304192669e-06×40589641000000     		ar = 3898.24080370661m²