Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5534 / 3489
↖ ↑ ↗
← N 80.355155°
W119.201660°		 ← 204.66 m → N 80.355155°
W119.190674°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
N 80.353314°
W119.201660°		 ← 204.70 m →
41 886 m²		 N 80.353314°
W119.190674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.168899536132812 y=0.106491088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.168899536132812 × 215)
    floor (0.168899536132812 × 32768)
    floor (5534.5)     		tx = 5534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106491088867188 × 215)
    floor (0.106491088867188 × 32768)
    floor (3489.5)     		ty = 3489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5534 / 3489 ti = "15/5534/3489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5534/3489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5534 ÷ 215
    5534 ÷ 32768     		x = 0.16888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3489 ÷ 215
    3489 ÷ 32768     		y = 0.106475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.6622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.08046144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106475830078125 × 2 - 1) × π
    0.78704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4725852824025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08046144} λ = -2.08046144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4725852824025))-π/2
    2×atan(11.8530507582714)-π/2
    2×1.48662917568722-π/2
    2.97325835137444-1.57079632675     		φ = 1.40246202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08046144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40246202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.355155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5534 KachelY 3489 -2.08046144 1.40246202 -119.201660 80.355155
    Oben rechts KachelX + 1 5535 KachelY 3489 -2.08026970 1.40246202 -119.190674 80.355155
    Unten links KachelX 5534 KachelY + 1 3490 -2.08046144 1.40242990 -119.201660 80.353314
    Unten rechts KachelX + 1 5535 KachelY + 1 3490 -2.08026970 1.40242990 -119.190674 80.353314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40246202-1.40242990) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40246202-1.40242990) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08046144--2.08026970) × cos(1.40246202) × R
    0.000191739999999996 × 0.167540433275828 × 6371000     		do = 204.66329525075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08046144--2.08026970) × cos(1.40242990) × R
    0.000191739999999996 × 0.167572099179795 × 6371000     		du = 204.701977544487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40246202)-sin(1.40242990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167540433275828-0.167572099179795)×R²
    abs(-2.08026970--2.08046144)×3.16659039666933e-05×R²
    0.000191739999999996×3.16659039666933e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.16659039666933e-05×40589641000000     		ar = 41885.5424197943m²