Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5534 / 11966
↖ ↑ ↗
← S 63.528971°
W 58.403320°		 ← 1 089.05 m → S 63.528971°
W 58.381348°		 →
↑
1 088.87 m
↓
↑
1 088.87 m
↓
S 63.538763°
W 58.403320°		 ← 1 088.68 m →
1 185 629 m²		 S 63.538763°
W 58.381348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337799072265625 y=0.730377197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337799072265625 × 214)
    floor (0.337799072265625 × 16384)
    floor (5534.5)     		tx = 5534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730377197265625 × 214)
    floor (0.730377197265625 × 16384)
    floor (11966.5)     		ty = 11966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5534 / 11966 ti = "14/5534/11966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5534/11966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5534 ÷ 214
    5534 ÷ 16384     		x = 0.3377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11966 ÷ 214
    11966 ÷ 16384     		y = 0.7303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01933023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44731087332874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01933023} λ = -1.01933023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44731087332874))-π/2
    2×atan(0.235201926208612)-π/2
    2×0.231003310234304-π/2
    0.462006620468609-1.57079632675     		φ = -1.10878971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01933023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10878971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.528971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5534 KachelY 11966 -1.01933023 -1.10878971 -58.403320 -63.528971
    Oben rechts KachelX + 1 5535 KachelY 11966 -1.01894674 -1.10878971 -58.381348 -63.528971
    Unten links KachelX 5534 KachelY + 1 11967 -1.01933023 -1.10896062 -58.403320 -63.538763
    Unten rechts KachelX + 1 5535 KachelY + 1 11967 -1.01894674 -1.10896062 -58.381348 -63.538763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10878971--1.10896062) × R
    0.000170910000000024 × 6371000     		dl = 1088.86761000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10878971--1.10896062) × R
    0.000170910000000024 × 6371000     		dr = 1088.86761000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01933023--1.01894674) × cos(-1.10878971) × R
    0.000383489999999931 × 0.44574524596887 × 6371000     		do = 1089.05137752314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01933023--1.01894674) × cos(-1.10896062) × R
    0.000383489999999931 × 0.445592247687712 × 6371000     		du = 1088.67756985976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10878971)-sin(-1.10896062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44574524596887-0.445592247687712)×R²
    abs(-1.01894674--1.01933023)×0.000152998281158667×R²
    0.000383489999999931×0.000152998281158667×6371000²
    0.000383489999999931×0.000152998281158667×40589641000000     		ar = 1185629.25996876m²