Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55335 / 17757
↖ ↑ ↗
← N 78.439474°
W 28.017883°		 ← 61.20 m → N 78.439474°
W 28.015137°		 →
↑
61.16 m
↓
↑
61.16 m
↓
N 78.438924°
W 28.017883°		 ← 61.20 m →
3 743 m²		 N 78.438924°
W 28.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422176361083984 y=0.135478973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422176361083984 × 217)
    floor (0.422176361083984 × 131072)
    floor (55335.5)     		tx = 55335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135478973388672 × 217)
    floor (0.135478973388672 × 131072)
    floor (17757.5)     		ty = 17757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55335 / 17757 ti = "17/55335/17757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55335/17757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55335 ÷ 217
    55335 ÷ 131072     		x = 0.422172546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17757 ÷ 217
    17757 ÷ 131072     		y = 0.135475158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422172546386719 × 2 - 1) × π
    -0.155654907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.48900431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135475158691406 × 2 - 1) × π
    0.729049682617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.29037712694666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48900431} λ = -0.48900431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29037712694666))-π/2
    2×atan(9.87866248858785)-π/2
    2×1.4699117052122-π/2
    2.9398234104244-1.57079632675     		φ = 1.36902708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48900431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.017883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36902708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.439474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55335 KachelY 17757 -0.48900431 1.36902708 -28.017883 78.439474
    Oben rechts KachelX + 1 55336 KachelY 17757 -0.48895638 1.36902708 -28.015137 78.439474
    Unten links KachelX 55335 KachelY + 1 17758 -0.48900431 1.36901748 -28.017883 78.438924
    Unten rechts KachelX + 1 55336 KachelY + 1 17758 -0.48895638 1.36901748 -28.015137 78.438924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36902708-1.36901748) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dl = 61.1616000003441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36902708-1.36901748) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dr = 61.1616000003441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48900431--0.48895638) × cos(1.36902708) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200402998601377 × 6371000     		do = 61.1954664709703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48900431--0.48895638) × cos(1.36901748) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200412403842213 × 6371000     		du = 61.1983384744047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36902708)-sin(1.36901748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200402998601377-0.200412403842213)×R²
    abs(-0.48895638--0.48900431)×9.40524083603567e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.40524083603567e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.40524083603567e-06×40589641000000     		ar = 3742.90047026113m²