Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55331 / 18833
↖ ↑ ↗
← N 77.832010°
W 28.028870°		 ← 64.38 m → N 77.832010°
W 28.026123°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.831431°
W 28.028870°		 ← 64.38 m →
4 147 m²		 N 77.831431°
W 28.026123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422145843505859 y=0.143688201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422145843505859 × 217)
    floor (0.422145843505859 × 131072)
    floor (55331.5)     		tx = 55331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143688201904297 × 217)
    floor (0.143688201904297 × 131072)
    floor (18833.5)     		ty = 18833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55331 / 18833 ti = "17/55331/18833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55331/18833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55331 ÷ 217
    55331 ÷ 131072     		x = 0.422142028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18833 ÷ 217
    18833 ÷ 131072     		y = 0.143684387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422142028808594 × 2 - 1) × π
    -0.155715942382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.48919606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143684387207031 × 2 - 1) × π
    0.712631225585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.23879702295548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48919606} λ = -0.48919606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23879702295548))-π/2
    2×atan(9.38203811960519)-π/2
    2×1.46461058247408-π/2
    2.92922116494816-1.57079632675     		φ = 1.35842484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48919606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.028870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35842484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.832010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55331 KachelY 18833 -0.48919606 1.35842484 -28.028870 77.832010
    Oben rechts KachelX + 1 55332 KachelY 18833 -0.48914812 1.35842484 -28.026123 77.832010
    Unten links KachelX 55331 KachelY + 1 18834 -0.48919606 1.35841473 -28.028870 77.831431
    Unten rechts KachelX + 1 55332 KachelY + 1 18834 -0.48914812 1.35841473 -28.026123 77.831431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35842484-1.35841473) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35842484-1.35841473) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48919606--0.48914812) × cos(1.35842484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210778698887637 × 6371000     		do = 64.3772400839515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48919606--0.48914812) × cos(1.35841473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210788581743634 × 6371000     		du = 64.3802585625578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35842484)-sin(1.35841473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210778698887637-0.210788581743634)×R²
    abs(-0.48914812--0.48919606)×9.88285599728966e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.88285599728966e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.88285599728966e-06×40589641000000     		ar = 4146.68739071901m²