Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55330 / 17750
↖ ↑ ↗
← N 78.443326°
W 28.031616°		 ← 61.19 m → N 78.443326°
W 28.028870°		 →
↑
61.16 m
↓
↑
61.16 m
↓
N 78.442776°
W 28.031616°		 ← 61.19 m →
3 742 m²		 N 78.442776°
W 28.028870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422138214111328 y=0.135425567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422138214111328 × 217)
    floor (0.422138214111328 × 131072)
    floor (55330.5)     		tx = 55330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135425567626953 × 217)
    floor (0.135425567626953 × 131072)
    floor (17750.5)     		ty = 17750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55330 / 17750 ti = "17/55330/17750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55330/17750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55330 ÷ 217
    55330 ÷ 131072     		x = 0.422134399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17750 ÷ 217
    17750 ÷ 131072     		y = 0.135421752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422134399414062 × 2 - 1) × π
    -0.155731201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48924400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135421752929688 × 2 - 1) × π
    0.729156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.290712685244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48924400} λ = -0.48924400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.290712685244))-π/2
    2×atan(9.88197791198032)-π/2
    2×1.46994532312981-π/2
    2.93989064625962-1.57079632675     		φ = 1.36909432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48924400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.031616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36909432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.443326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55330 KachelY 17750 -0.48924400 1.36909432 -28.031616 78.443326
    Oben rechts KachelX + 1 55331 KachelY 17750 -0.48919606 1.36909432 -28.028870 78.443326
    Unten links KachelX 55330 KachelY + 1 17751 -0.48924400 1.36908472 -28.031616 78.442776
    Unten rechts KachelX + 1 55331 KachelY + 1 17751 -0.48919606 1.36908472 -28.028870 78.442776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36909432-1.36908472) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dl = 61.1616000003441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36909432-1.36908472) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dr = 61.1616000003441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48924400--0.48919606) × cos(1.36909432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.200337122209357 × 6371000     		do = 61.1881138002941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48924400--0.48919606) × cos(1.36908472) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.200346527579536 × 6371000     		du = 61.190986442441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36909432)-sin(1.36908472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200337122209357-0.200346527579536)×R²
    abs(-0.48919606--0.48924400)×9.40537017873888e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.40537017873888e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.40537017873888e-06×40589641000000     		ar = 3742.45078881666m²