Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55325 / 17756
↖ ↑ ↗
← N 78.440024°
W 28.045349°		 ← 61.19 m → N 78.440024°
W 28.042603°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.439474°
W 28.045349°		 ← 61.20 m →
3 747 m²		 N 78.439474°
W 28.042603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422100067138672 y=0.135471343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422100067138672 × 217)
    floor (0.422100067138672 × 131072)
    floor (55325.5)     		tx = 55325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135471343994141 × 217)
    floor (0.135471343994141 × 131072)
    floor (17756.5)     		ty = 17756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55325 / 17756 ti = "17/55325/17756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55325/17756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55325 ÷ 217
    55325 ÷ 131072     		x = 0.422096252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17756 ÷ 217
    17756 ÷ 131072     		y = 0.135467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422096252441406 × 2 - 1) × π
    -0.155807495117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48948368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135467529296875 × 2 - 1) × π
    0.72906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29042506384628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48948368} λ = -0.48948368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29042506384628))-π/2
    2×atan(9.87913605239044)-π/2
    2×1.46991650844854-π/2
    2.93983301689708-1.57079632675     		φ = 1.36903669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48948368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.045349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36903669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.440024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55325 KachelY 17756 -0.48948368 1.36903669 -28.045349 78.440024
    Oben rechts KachelX + 1 55326 KachelY 17756 -0.48943575 1.36903669 -28.042603 78.440024
    Unten links KachelX 55325 KachelY + 1 17757 -0.48948368 1.36902708 -28.045349 78.439474
    Unten rechts KachelX + 1 55326 KachelY + 1 17757 -0.48943575 1.36902708 -28.042603 78.439474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36903669-1.36902708) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36903669-1.36902708) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48948368--0.48943575) × cos(1.36903669) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200393583544918 × 6371000     		do = 61.1925914702172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48948368--0.48943575) × cos(1.36902708) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200402998601377 × 6371000     		du = 61.1954664709703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36903669)-sin(1.36902708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200393583544918-0.200402998601377)×R²
    abs(-0.48943575--0.48948368)×9.41505645982166e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.41505645982166e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.41505645982166e-06×40589641000000     		ar = 3746.62339382345m²